スカラー
ベクトルは矢印(向きと長さをもつ線分)で表記され、スカラー(実数値) はベクトルの 大きさ\((\textsf{長さ})\) を表す。
\(\hspace{150pt}\hspace{-120pt}\textsf{図$1$から}\left\{\begin{array}{l}\, {\color{gray}{\class{Boldfont}{a}}},\:{\color{gray}{\class{Boldfont}{b}}},\:{\color{gray}{\class{Boldfont}{c}}},\:{\color{gray}{\class{Boldfont}{d}}}\:\textsf{の成分表示。}\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}{\color{gray}{\class{Boldfont}{a}}}=\small{\left[\begin{array}{c}{\,\overset{}{4}}\,\\{1}\end{array}\right]},\; {\color{gray}{\class{Boldfont}{\normalsize b}}}=\begin{bmatrix}{\overset{\,}{\,2\,}}\\{\,3\,}\end{bmatrix},\; \class{Boldfont}{\normalsize c}=\begin{bmatrix}{\overset{}{\,3\,}}\\{\,0\,}\end{bmatrix},\; \class{Boldfont}{\normalsize d}=\begin{bmatrix}{\overset{}{\,1\,}}\\{\,1\,}\end{bmatrix}\hspace{30pt}\left\{{{\bf\it V}\,\scriptsize 1}\,=\,\class{Boldfont}{a}+\class{Boldfont}{b}+\class{Boldfont}{c}+\class{Boldfont}{d}=\, \scriptsize{\begin{bmatrix}{\overset{}{\,10\,}}\\{\,5\,}\end{bmatrix}}\right\}\\[5pt]\textsf{$\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/three-squares-theorem/}{\textsf{ 三平方の定理}}$で、$\class{Boldfont}{a},\,\class{Boldfont}{b},\,\class{Boldfont}{c},\,\class{Boldfont}{d}\:$のスカラーを求める。}\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}a\,=\,{\small\sqrt{4^2+1^2}},\;\, b\,=\,{\small\sqrt{2^2+3^2}},\;\; c\,=\,{\small\sqrt{3^2+0^2}},\;\; d\,=\,{\small\sqrt{1^2+1^2}}\\[10pt]\textsf{それぞれのスカラー値は}\hspace{2pt}{{\large\bf\it a}=|{\large\bf\it a}\,|},\;\; {{\large\bf\it b}=|{\large\bf\it b}\,|},\;\; {{\large\bf\it c}=|{\large\bf\it c}\,|},\;\; {{\large\bf\it d}=|{\large\bf\it d}\,|}\;\textsf{と表記される。} \\[10pt]\hspace{250pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{$|V{\tiny 1}|\leqq|{\bf\it a}\,|{\scriptsize\,+\,}|{\bf\it b}\,|{\scriptsize\,+\,}|{\bf\it c}\,|{\scriptsize\,+\,}|{\bf\it d}\,|$} \\ \hspace{50pt}\Downarrow \\ \small\textsf{三角不等式}\left\{\begin{array}{l}|x|{\scriptsize\,-\,}|y|\:{\scriptsize\leqq}\: |x{\scriptsize\,+\,}y|\:{\scriptsize\leqq}\:|x|{\scriptsize\,+\,}|y| \\ |x|{\scriptsize\,-\,}|y|\:{\scriptsize\leqq}\: |x{\scriptsize\,-\,}y|\:{\scriptsize\leqq}\:|x|{\scriptsize\,+\,}|y|\end{array}\right\}\end{array}\right\} \end{array}\right.\)
ノルム
ノルム とは、ベクトルをスカラーに変換する 関数 である。
ノルムの定義式 \(\hspace{10pt}L^{\scriptsize p}{\scriptsize\:=\:}|\!|\boldsymbol{x}|\!|{\scriptsize p}{\scriptsize\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\left({\small\displaystyle\sum_{i{\scriptsize =}1}^n}|x{\scriptsize i}|^{\scriptsize p}\right)^{\!\tiny\displaystyle\frac{1}{p}}{\scriptsize\hspace{1pt}{\small\,=\,}\sqrt[\large\uproot{20}p\,]{{\small\displaystyle\sum_{i{\scriptsize =}1}^n}|x{\scriptsize i}|}\hspace{1pt}}\hspace{3pt}{\small\,=\,}\hspace{3pt}\sqrt[p]{\small{|x{\tiny 1}|^{\scriptsize p}{\scriptsize\,+\,}|x{\tiny 2}|^{\scriptsize p}{\scriptsize\,+\,}|x{\tiny 3}|^{\scriptsize p}{\scriptsize\,+\,}\cdots{\scriptsize\,+\,}|x{\tiny n}|^{\scriptsize p}}\hspace{-18pt}} \)
\(\textsf{図$2$から}\left\{\begin{array}{l}\textsf{$3$次元実数空間 $\Bbb R^{\scriptsize 3}$ のベクトル$\class{Boldfont}{V}$のノルムをもとめる。} \\[20pt] \textsf{$\class{Boldfont}{V}$ の $L^{\scriptsize 1}$ノルム を求める定義式は $ \hspace{10pt}L^{\scriptsize 1}{\scriptsize\:=\:}|\!|\boldsymbol{V}|\!|{\scriptsize 1}{\scriptsize\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\large\sqrt{\small{|x{\tiny 1}|{\scriptsize\,+\,}|x{\tiny 2}|{\scriptsize\,+\,}|x{\tiny 3}|}}$ である。} \\[5pt] \hspace{250pt}\left\{\begin{array}{l}\scriptsize\textsf{$L^{\tiny 1}$の上添え字の$1$はある距離法で計算したベクトルの長さ(ノルム空間)を提示している。} \\ \scriptsize\textsf{図$2$の$\color{red}{\textsf{赤い折れ線}}$で表記した距離を求めるのが課題となる。} \\ \scriptsize\textsf{絶対値$|\cdot|$をとるので、成分が負でも非負の距離に帰着する。} \end{array}\right\} \\[20pt] \textsf{$\class{Boldfont}{V}$ の $L^{\scriptsize 2}$ノルム を求める定義式は $ \hspace{10pt}L^{\scriptsize 2}{\scriptsize\:=\:}|\!|\boldsymbol{V}|\!|{\scriptsize 2}{\scriptsize\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\large\sqrt{\small{|x{\tiny 1}|^{\scriptsize 2}{\scriptsize\,+\,}|x{\tiny 2}|^{\scriptsize 2}{\scriptsize\,+\,}|x{\tiny 3}|^{\scriptsize 2}}}$ である。} \\[5pt]\hspace{250pt}\left\{\begin{array}{l}\scriptsize\textsf{$L^{\tiny 2}$の上添え字の$2$はユークリッド距離法で計算したベクトルの長さ(ノルム空間)を提示し} \\ \scriptsize\textsf{ている。これは図$1$でみた平面ベクトルのスカラーを三平方の定理を用いた解法の拡張(図$2$は} \\ \scriptsize\textsf{$\Bbb R^{\tiny 3}$)で点$A$から点$B$の距離を求めるのが課題となる。} \end{array}\right\}\end{array}\right.\)