\(\textsf{図$1$から}\left\{\begin{array}{l}\textsf{法線ベクトルとは、直線(または平面)に垂直なベクトルをいい、垂直ならば大きさ、逆方向は問わない。} \\ \hspace{10pt}\textsf{図$1$では直線$l$に対して ${\boldsymbol{\color{red}{n}}},{\boldsymbol{\color{lightgray}{n^{\prime}}}},{\boldsymbol{\color{lightgray}{n^{\prime\prime}}}},{\boldsymbol{\color{lightgray}{n^{\prime\prime\prime}}}},{\boldsymbol{\color{lightgray}{n^{\prime\prime\prime\prime}}}}$はすべて法線ベクトルである。ここではその一つ${\boldsymbol{\color{red}{n}}}$について考察する。} \\[5pt] \textsf{$\overrightarrow{Ap}\perp{\boldsymbol{\color{red}{n}}}$より、$\overrightarrow{Ap}\cdot{\boldsymbol{\color{red}{n}}}{\scriptsize\,=\,}0$}\hspace{30pt}\large\textsf{☜$\:\href{https://showanojoe.com/template-math/linear-algebra/dot-product-of-vectors/#1-1}{\small\textsf{ベクトルの内積}}$}\hspace{50pt}\left\{\small\textsf{$\perp$は垂直を意味する記号。}\right\} \\[5pt] \overrightarrow{Ap}\cdot{\boldsymbol{\color{red}{n}}}{\scriptsize\,=\,}0\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}\left\{\begin{array}{l}\begin{bmatrix}x{\tiny 1}{\scriptsize\,-\,}x\:y{\tiny 1}{\scriptsize\,-\,}y\end{bmatrix}\:\begin{bmatrix}x{\tiny 2} \\ y{\tiny 2}\end{bmatrix}{\scriptsize\,=\,}x{\tiny 2}(x{\tiny 1}{\scriptsize\,-\,}x){\scriptsize\,+\,}y{\tiny 2}(y{\tiny 1}{\scriptsize\,-\,}y)\hspace{40pt}\left\{\small\textsf{$2$点の座標点を結ぶベクトルの成分表示は $\textsf{終点の座標}{\scriptsize\,-\,}\textsf{始点の座標}$。}\right\} \\ {\scriptsize\,=\,}x{\tiny 2}x{\tiny 1}{\scriptsize\,-\,}x{\tiny 2}x{\scriptsize\,+\,}y{\tiny 2}y{\tiny 1}{\scriptsize\,-\,}y{\tiny 2}y{\scriptsize\,=\,}x{\tiny 2}x{\scriptsize\,-\,}y{\tiny 2}y{\scriptsize\,-\,}x{\tiny 2}x{\tiny 1}{\scriptsize\,+\,}y{\tiny 2}y{\tiny 1}{\scriptsize\,=\,}0\end{array}\right\} \\[5pt] \textsf{したがって、点$A(x{\tiny 1},y{\tiny 1})$を通り、法線ベクトルが${\boldsymbol{\color{red}{n}}}{\scriptsize\,=\,}(x{\tiny 2}\:x{\tiny 2})$の直線$l$の式は $x{\tiny 2}x{\scriptsize\,-\,}y{\tiny 2}y{\scriptsize\,-\,}x{\tiny 2}x{\tiny 1}{\scriptsize\,+\,}y{\tiny 2}y{\tiny 1}{\scriptsize\,=\,}0$ である。} \\[5pt] \textsf{$x$の係数$x{\tiny 2}$ と $y$の係数$y{\tiny 2}$が、法線ベクトル$\boldsymbol{\color{red}{n}}$の成分と同値であることが要点である。}\end{array}\right.\)