関数について

逆関数

多変数関数

$$\begin{array}{l}\textsf{・ある関数$\hspace{5pt}z=f(x, \:y)\hspace{5pt}$あるいは$\hspace{5pt}w=f(x,\:y,\:z)\hspace{5pt} $ や、それ以上の $\class{Boldfont}{\textsf{独立変数}}$ ($\small\textsf{$f()$内の変数}$) を囲む関数を $\class{Boldfont}{\textsf{多変数関数}}\:$ という。} \\[5pt] \textsf{・左辺の$z,\:w$を $\class{Boldfont}{\textsf{従属変数}}$という。} \\[5pt] \textsf{・独立変数のとりうる値の範囲を $\class{Boldfont}{\textsf{定義域}}$ といい、それに従属して従属変数 がとる値を $\class{Boldfont}{\textsf{値域}}$ という。}\end{array}$$

\(2\)変数関数の偏微分

\(\begin{array}{l}\textsf{まずは $\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#偏微分}{\textsf{偏微分}}$の定義 から、} \\ \hspace{10pt}\textsf{$2$変数関数 $f{\small(x,y)}$ の $x,y$座標上の点 $(a,b)$ に 極限値 ${\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{\normalsize f {\scriptsize(a+h,b)}-f{\scriptsize(a,b)}}{h}$ があれば、関数$f{\small(x,y)}$ は $(x,y){\scriptsize\,=\,}(a,b)$ であり $x$ で$\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#偏微分可能}{\textsf{偏微分可能}}$ である。} \\ \hspace{10pt}\textsf{また、この極限値を $x$の$\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#偏微分係数}{\textsf{偏微分係数}}$ という。} \\ \hspace{10pt}\textsf{同様に、$y$ での偏微分の定義は ${\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{\normalsize f {\scriptsize(a,b+h)}-f{\scriptsize(a,b)}}{h}$ である。}\end{array}\)

$$\color{gray}{\textsf{例題$1$}}$$

\(\textsf{$f{\small(x,y)}{\scriptsize\,=\,}\small\displaystyle\frac{\normalsize x}{2x+3y}$ を $x$、$y$ で偏微分してみる。}\hspace{20pt}{\small\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}}f{\small(x,y)}\left\{\begin{array}{l}{\small\displaystyle\frac{\normalsize x}{2x+3y}} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{x_x(2x+3y)-x(2x+3y)_x}{(2x+3y)^2}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{$\href{#積と商-分母分子が関数の分数-の微分公式とその証明}{\textsf{商の微分公式 }}\left\{\tiny\displaystyle\frac{f{(x)}}{g{(x)}}\right\}’=\tiny\displaystyle\frac{f'{(x)}g{ (x)}-f{(x)}\,g'{(x)}}{\{g{(x)}\}^2}$ 参照。}\}\\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1\cdot(2x+3y)-x(2\cdot 1+0)}{(2x+3y)^2}} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{3y}{(2x+3y)^2}}\end{array}\right.\)

\(\hspace{192pt}{\small\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}}f{\small(x,y)}\left\{\begin{array}{l}{\small\displaystyle\frac{\normalsize x}{2x+3y}} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{\normalsize x \cdot {1}}{2x+3y}} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small-\displaystyle\frac{x(2x+3y)_y}{(2x+3y)^2}}\hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{$y$で微分するので分子の$x$は係数となり、関数とはならない。} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{したがって $\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#逆数の微分公式}{\textsf{逆数の微分公式}}$ を使う。}\end{array}\right\} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{3x}{(2x+3y)^2}}\end{array}\right.\)

合成関数

合成関数は引数に関数をとる関数をいう。

 ここでいう引数とは、関数\(f{\scriptsize(x)}\)でいうところの\((\,)\)内の変数\(x\)にあたる。 変数\(x\)の代わりに下記に示す関数\(\large f\)の\((\,)\)内の関数\(g{\scriptsize(x)}\)または合成関数\(g{\small( h{\scriptsize(x)})}\)をいう。

合成関数のイメージ

\(\begin{array}{l}\hspace{10pt} {\large y}={\large f}({\normalsize g}{\scriptsize (x)}) \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} {\large y}{\small\,=\,}{\large f}{\small(u)},\hspace{10pt} {\large u}{\small\,=\,}{\Large g}{\small(x)}\hspace{10pt} \normalsize\textsf{と置き換えるとわかりやすい。} \\[15pt] \textsf{3層構造の合成関数} \hspace{15pt} {\large y}{\small\,=\,}{\large f}({g}{\small({\scriptsize h} {\tiny(x)})}) \hspace{15pt}\Rightarrow\hspace{15pt} {\large y}{\scriptsize\,=\,} {\large f}\small{({u})},\hspace{10pt} {\large u}{\small\,=\,}{\Large g}{\small(v)},\,\hspace{10pt} {\large v}{\small\,=\,}{\large h}{\small(x)}\hspace{10pt} \normalsize\textsf{と置き換えてみる。} \\[5pt] \hspace{300pt}\{\small\textsf{以降、4層以上の合成関数も同様のイメージ。}\}\\[20pt] {\color{gray}\textsf{[事例]}} \\[5pt]\hspace{10pt}{\Large f}({\large g}{\small({\normalsize h} {\scriptsize(x)})})={\sqrt[\uproot{10}m]{ax^2 +b}}\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}{\large f\small{({u})}}={\sqrt[\uproot{5}m]{\boldsymbol u}},\hspace{15pt}{\large g}({\boldsymbol v})=a{\boldsymbol v}+b, \hspace{15pt} h(x)=x^2 \end{array}\)

合成関数の微分(連鎖率)

\(\hspace{-25pt}\begin{array}{l}\textsf{$\class{Boldfont}{\textsf{合成関数の微分の手順}}$}\hspace{5pt}\left\{\begin{array}{l}\hspace{4pt}{\large y}{\,’}{\small\,=\,}\{{\large f}({\normalsize g}{\scriptsize (x)})\}’ \hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}{\large u}{\small\,=\,}{\large g}{\scriptsize(x)}\textsf{と置く},\hspace{5pt}{\large y}{\,’}{\small\,=\,}\{{\large f}({\normalsize u})\}'{\small\,=\,}\small\displaystyle\frac{dy}{dx}{\small\,=\,}\displaystyle{\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}} \\[15pt ] \hspace{5pt} {\large y}{\,’}=\{{\large f}({g}{\small({h} {\scriptsize(x)})})\}’\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}{\large u}{\small\,=\,}{\large g}{\scriptsize(v)}\textsf{と置く},\hspace{5pt}{\large v}{\small\,=\,}{\large h}{\scriptsize (x)}\textsf{と置く}, \\[5pt] \hspace{170pt}{\large y}{\,’}{\small\,=\,}\{{\large f}({\normalsize g}{\scriptsize (v)})\}'{\small\,=\,}\small\displaystyle{\frac{dy}{dx}}{\small\,=\,}\small\displaystyle{\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}} \end{array}\right. \\[10pt] \hspace{250pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{$\color{red}\underline{\color{red}\underline{\color{red}{\color{black}\textsf{これは 合成関数の微分の定義 である。}}}}$}\\ \hspace{10pt}\small\textsf{以降、4層以上の合成関数の微分も同様の手順。}\end{array}\right\}\\[15pt] \hspace{0pt}\textsf{合成関数の微分公式}\hspace{15pt}\left\{\begin{array}{l}\hspace{10pt}\{{\large f}({\normalsize g}{\scriptsize (x)})\}’={\large f}'({\normalsize g}{\scriptsize (x)})\times {\large g}{\,’}{\small (x)} \\[5pt] \hspace{10pt}\{{\Large f}({\large g}{\small({\normalsize h} {\scriptsize(x)})})\}’={\large f}'({\normalsize g}{\scriptsize (x)})\times {\large g}{\,’}({\small h(x)}) \times {\large h}^{\!’}{\small (x)}\end{array}\right.\\[5pt] \hspace{250pt}\{\small\textsf{以降、4層以上の合成関数の微分公式は言うまでもない。}\} \\[30pt]\hspace{25pt}{\color{gray}\textsf{[事例]}}\hspace{20pt}\left\{log|f{\small(x)}|\right\}^{\prime} \left\{\begin{array}{l}{\scriptsize{\,=\,}\displaystyle\frac{1}{f{\tiny(x)}}}\,\times\,{\small f^{\prime}}{\scriptsize(x)}\hspace{50pt}\left\{\small\textsf{$\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/exponents-and-logarithms/#対数の微分}{\textsf{対数の微分の証明}}\:(log{\tiny e}x)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{\small x}$ を参照。}\right\} \\ \scriptsize{\,=\,}\displaystyle\frac{f{\tiny(x)}^{\prime}}{f{\tiny(x)}}\end{array}\right. \end{array}\)

合成関数の微分公式の証明

$$\{{\large f}({\normalsize g}{\scriptsize (x)})\}’ \left\{\begin{array}{l}\textsf{微分の定義式$\hspace{10pt}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f {\scriptsize(x+h)}-f{\scriptsize(x)}}{h}\:$ から、} \\[10pt] {\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f (g{\scriptsize(x+h)})-f(g{\scriptsize(x)})}{h} \\[10pt] \hspace{10pt}=\:{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f (g{\scriptsize(x+h)})-f(g{\scriptsize(x)})}{g{\scriptsize{(x+h})}-g{\scriptsize (x)}} \times \:{\normalsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{g{\scriptsize{(x+h})}-g{\scriptsize (x)}}{h} \hspace{50pt}\{\textsf{合成関数の微分の手順$\hspace{5pt}\scriptsize\displaystyle{\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\frac{du}{dx}}\hspace{5pt}$}\textsf{を踏まえる。}\} \\[10pt] \hspace{10pt}=\hspace{5pt} {\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f (g{\scriptsize(x+h)})-f(g{\scriptsize(x)})}{g{\scriptsize{(x+h})}-g{\scriptsize (x)}} \times\:{\large g}{\,’}(x) \hspace{50pt}\{{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-23pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\scriptsize\frac{g{\scriptsize{(x+h})}-g{\scriptsize (x)}}{h}\: \small\textsf{は$\:g{\scriptsize (x)}\:$の微分の定義式。}\}\\[10pt] \hspace{10pt}=\hspace{5pt} {\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{t}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f ({\small u+t})-f({\small u})}{{\small t}} \times\:{\large g}{\,’}(x) \hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}\textsf{$g(x)\:$を$\:u,\:g(x+h)-g(x)\:$を$\,t\,$と置くと、$g(x+h)\:$は$u+t$となる。}\\[5pt] {\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\scriptsize{t}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\scriptsize\frac{f ({\small u+t})-f({\small u})}{{\small t}} \small\textsf{は$f(u)$の微分の定義式。}\end{array}\right\}\end{array}\right\}=\:{\large f}'({\normalsize g}{\scriptsize (x)})\times\, {\large g}{\,’}{\small (x)}$$

積と商(分母分子が関数の分数)の微分公式とその証明

$$\class{Boldfont}{\textsf{ 積の微分公式 }}\hspace{10pt} \{f{\scriptsize (x)}\,g{\scriptsize (x)}\}’ {\scriptsize =} f'{\scriptsize (x)}g{\scriptsize (x)}+f{\scriptsize (x)}\,g'{\scriptsize (x)}$$

$$\class{Boldfont}{\textsf{商の微分公式}}\hspace{10pt}\left\{\small\displaystyle\frac{f{\scriptsize (x)}}{g{\scriptsize (x)}}\right\}’=\small\displaystyle\frac{f'{\scriptsize (x)}g{\scriptsize (x)}-f{\scriptsize (x)}\,g'{\scriptsize (x)}}{\{g{\scriptsize (x)}\}^2} $$ $$ \color{gray}{\textsf{[証明]}}$$

$$\left\{\begin{array}{l}\textsf{微分の定義式$\hspace{10pt}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f {\scriptsize(x+h)}-f{\scriptsize(x)}}{h}\:$ から、先ずは、商の微分公式の証明に繋がる $\textsf{積の微分公式}$ の証明から始めよう。} \\[10pt] \{f{\scriptsize (x)}\,g{\scriptsize (x)}\}'{\small =}\:{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f {\scriptsize(x+h)}g {\scriptsize(x+h)}-f{\scriptsize(x)}g{\scriptsize(x)}}{h} \\[10pt] \textsf{さてと、ここからどうもっていこうか $\hspace{5pt}?$ 証明の過程では$\hspace{5pt}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\! \displaystyle\small\frac{\{f {\scriptsize(x+h)}-f(x)\}g {\scriptsize(x+h)}+\{g(x+h)-g{\scriptsize(x)}\}f{\scriptsize(x)}}{h}\hspace{5pt}$の式変形が望ましい。} \\[10pt] \textsf{そこで、分子に $0$ を減算する。}\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}\{f{\scriptsize (x)}\,g{\scriptsize (x)}\}'{\small =}\:{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f {\scriptsize(x+h)}g {\scriptsize(x+h)}- \{ \overbrace{f{\scriptsize{(x)}}g{\scriptsize{(x+h)}}-f^{\Huge\:}\!\!\!\!{\scriptsize{(x)}}g{\scriptsize{(x+h)}}}^{\Large 0}\}-f{\scriptsize(x)}g{\scriptsize(x)}}{h} \\[10pt] {\small =}\:{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{\left(f {\scriptsize(x+h)-{\small f}(x)}\right)g {\scriptsize(x+h)}+\left(g{\scriptsize(x+h)}-g{\scriptsize(x)}\right)f{\scriptsize{(x)}}}{h} \hspace{50pt}\{\textsf{分子は因数分解で整理する。}\} \\[10pt] {\small =}\:{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f\scriptsize(x+h)-{\small f}(x)}{h}\hspace{5pt}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!{\large g} {\small(x+h)}\hspace{5pt} {\normalsize +} \hspace{5pt}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{g{\scriptsize(x+h)}g{\scriptsize(x)}}{h}\hspace{5pt}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!{\large f}{\small{(x)}} \\[10pt] {\small =}f'{\scriptsize (x)}g{\scriptsize (x)}+g'{\scriptsize (x)}\,f{\scriptsize (x)}\hspace{5pt}{\small =}\hspace{5pt}f'{\scriptsize (x)}g{\scriptsize (x)}+f{\scriptsize (x)}\,g'{\scriptsize (x )}\hspace{50pt} \{\textsf{積の微分公式の証明ができたので、以降は商の微分公式の証明となる。}\} \end{array}\right.$$

$$\left\{\begin{array}{l} \left\{\small\displaystyle\frac{f{\scriptsize (x)}}{g{\scriptsize (x)}}\right\}'{\small =}\left\{{f \small{(x)}}\:\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}'{\small =}f'{\scriptsize{(x)}} \left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}’ \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}+f{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}’ \hspace{50pt}\{\textsf{積の微分公式を使う。}\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}+f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\frac{\frac{1}{g {\scriptsize(x+h)}}{\scriptsize -}\frac{1}{g{\scriptsize(x)}}}{\small h} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}+f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{1}{h} \left\{\small\displaystyle\frac{1}{g {\scriptsize(x+h)}}{\scriptsize -}\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}+f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{1}{h} \left\{\small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x)}}{g {\scriptsize(x+h){\small g}(x)}}{\scriptsize -}\small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x+h)}}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}+f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{1}{h} \left\{ {\scriptsize -}\small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x+h)+{\small g}(x)}}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}-f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\left\{\small\displaystyle\frac{1}{h} \small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x+h)+{\small g}(x)}}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt]{\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}+f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\! \left\{\small\displaystyle\frac{g {\scriptsize(x+h){\small g}(x)}}{\small h}{\scriptsize -}\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}-f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\left\{\small\displaystyle\frac{1}{h} \small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x+h)+{\small g}(x)}}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt]{\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}+f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\! \left\{\small\displaystyle\frac{g {\scriptsize(x+h){\small g}(x)}}{\small h}{\scriptsize -}\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}-f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\left\{\small\displaystyle\frac{1}{h} \small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x+h)+{\small g}(x)}}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt]{\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}+f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\! \left\{\small\displaystyle\frac{g {\scriptsize(x+h){\small g}(x)}}{\small h}{\scriptsize -}\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}-f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\left\{\small\displaystyle\frac{1}{h} \small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x+h)+{\small g}(x)}}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \\[10pt]{\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}-f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\! \left\{\small\displaystyle\frac{g {\scriptsize(x+h){\small g}(x)}}{\small h}\,\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\} \end{array}\right.$$

$$\hspace{-10pt}\left\{\begin{array}{l} {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}-f{\small{(x)}}\,{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\! \left\{\small\displaystyle\frac{g {\scriptsize(x+h){\small g}(x)}}{\small h}\,\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x+h)}g{\scriptsize(x)}}\right\}\hspace{5pt}\textsf{から、} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}-f{\small{(x)}}\,\left\{ {\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\! \small\displaystyle\frac{g {\scriptsize(x+h){\small g}(x)}}{\small h} \hspace{10pt}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\! \small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x+h)}} \hspace{10pt} {\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize(x)}} \right\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\left\{\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\right\}-f{\small{(x)}}\,\left\{g{\small(x)}’ \hspace{10pt}\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}} \hspace{10pt} \small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize(x)}} \right\} \\[10pt] {\small =} f'{\small{(x)}}\,\small\displaystyle\frac{1}{g{\scriptsize (x)}}\,\small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x)}}{g{\scriptsize (x)}}-f{\small{(x)}}\, \small\displaystyle\frac{g{\scriptsize (x)}}{\left\{g{\scriptsize(x)}\right\}^2} =\small\displaystyle\frac{f'{\scriptsize (x)}g{\scriptsize (x)}-f{\scriptsize (x)}\,g'{\scriptsize (x)}}{\{g{\scriptsize (x)}\}^2} \end{array}\right.$$

\(\textsf{合成関数の微分のことを$\class{Boldfont}{\textsf{連鎖率}}$という。}\)

合成関数の偏微分

\(\textsf{前述した$\href{#2-1}{\textsf{合成関数の微分}}$は$\:\color{red}\underline{\color{black}{\textsf{$\,1$変数関数の合成関数の偏微分}}}\:$の連鎖率として}\hspace{10pt}{\small\displaystyle\frac{\partial y}{\partial x}=\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}}}\hspace{10pt}\textsf{と表記される。}\)

2変数関数の合成関数の偏微分

\(\textsf{全微分可能な$2$変数関数${\large f}(u,\,v)$が、${\large u}{\scriptsize\,=\,}u{\small(x,\,y)}$、${\large v}{\scriptsize\,=\,}v{\small(x,\,y)}$ であるとき、合成関数$F(x,\,y)\{{\scriptsize\,=\,}{\large f}(u{\small(x,\,y)},\,v{\small(x,\,y)})\}$を ${\large x}$、${\large y}$ で偏微分する公式}\)

$${\small\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}{\scriptsize\,+\,}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}}}_{\,\large,}\hspace{8pt}{\small\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}=\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}{\scriptsize\,+\,}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}}}$$

では、微分の定義に従って公式を証明してみよう。

$$ \color{gray}{\textsf{[証明]}}$$

\({\small\displaystyle\frac{\partial F}{\partial x}}\left\{\begin{array}{l}{{\scriptsize\,=\,}\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{F {\scriptsize(x+h,y)}-F{\scriptsize(x,\,y)}}{h}\:{{\scriptsize\,=\,}\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f ({u\scriptsize(x+h,y)},\,{v\scriptsize(x+h,y)})-f({u\scriptsize(x,\,y)},\,{v\scriptsize(x,\,y)})}{h} \\[10pt] {{\scriptsize\,=\,}\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f (u{\scriptsize\,+\,}\varepsilon,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})-f{(u,\,v)}}{h}\hspace{50pt}\left\{\left.\begin{array}{l}u{\scriptsize\,=\,}(x{\scriptsize\,+\,}h,y)\}{\scriptsize\,=\,}u{\small(x,\,y){\scriptsize\,+\,}\varepsilon}{\scriptsize\,=\,}u{\scriptsize\,+\,}\varepsilon \\ v{\scriptsize\,=\,}(x{\scriptsize\,+\,}h,y)\}{\scriptsize\,=\,}v{\small(x,\,y){\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime}}{\scriptsize\,=\,}v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime} \end{array}\right.\hspace{10pt}\textsf{とおく。$h{\scriptsize\rightarrow}0$なので誤差$\varepsilon$、$\varepsilon^{\prime}$は$0$に近づく。}\right\} \\[10pt]{{\scriptsize\,=\,}\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f (u{\scriptsize\,+\,}\varepsilon,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})-f{(u,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})}{\scriptsize\,+\,}{f(u,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})-f{(u,\,v)}}}{h}\hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}\textsf{微分の証明に行き詰まったら、このような式変形の手法をとる場合} \\ \hspace{10pt}\textsf{が多い。}\end{array}\right\} \\[10pt]{{\scriptsize\,=\,}\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f (u{\scriptsize\,+\,}\varepsilon,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})-f{(u,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})}}{\varepsilon}\cdot\displaystyle\frac{\varepsilon}{h}{\small\hspace{10pt}+\hspace{10pt}}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{{f(u,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})-f{(u,\,v)}}}{\varepsilon^{\prime}}\cdot\displaystyle\frac{\varepsilon^{\prime}}{h}\hspace{50pt}\{\textsf{分子が$h$ではなく誤差をとっているので分母も誤差をとるように式変形する。}\}\\[10pt]{{\scriptsize\,=\,}\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f (u{\scriptsize\,+\,}\varepsilon,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})-f{(u,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})}}{\varepsilon}\cdot\displaystyle\frac{u(x{\scriptsize\,+\,}h,y){\scriptsize\,-\,}u(x,y)}{h}{\small\hspace{10pt}+\hspace{10pt}}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{{f(u,\,v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})-f{(u,\,v)}}}{\varepsilon^{\prime}}\cdot\displaystyle\frac{v(x{\scriptsize\,+\,}h,y){\scriptsize\,-\,}v(x,y)}{h} \\ \hspace{400pt}{\small\left\{\left.\begin{array}{l}\varepsilon{\scriptsize\,=\,}u(x{\scriptsize\,+\,}h,y){\scriptsize\,-\,}u{\small(x,\,y) }\\ \varepsilon^{\prime}{\scriptsize\,=\,}v(x{\scriptsize\,+\,}h,y){\scriptsize\,-\,}v{\small(x,\,y) } \end{array}\right.\hspace{10pt}\textsf{とおく。}\right\}} \\[10pt]{{\scriptsize\,=\,}\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f (u{\scriptsize\,+\,}\varepsilon)-f{(u)}}{\varepsilon}\cdot\displaystyle\frac{u(x{\scriptsize\,+\,}h,y){\scriptsize\,-\,}u(x,y)}{h}{\small\hspace{10pt}+\hspace{10pt}}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{{f(v{\scriptsize\,+\,}\varepsilon^{\prime})-f{(v)}}}{\varepsilon^{\prime}}\cdot\displaystyle\frac{v(x{\scriptsize\,+\,}h,y){\scriptsize\,-\,}v(x,y)}{h} \\ \hspace{350pt}\{\textsf{各分数式を整理すると微分(偏微分)の定義式に帰着する。}\} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle{\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}{\scriptsize\,+\,}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}}}\hspace{50pt}\{\textsf{$\scriptsize\displaystyle\frac{\partial F}{\partial y}$ も同様の過程で証明できる。}\}\end{array}\right.\)

$$\begin{array}{l}\textsf{・ある関数$\hspace{5pt}z=f(x, \:y)\hspace{5pt}$あるいは$\hspace{5pt}{\small{A\!A}}=f(x,\:y,\:z)\hspace{5pt} $ や、それ以上の $\class{Boldfont}{\textsf{独立変数}}$ ($\small\textsf{$f()$内の変数}$) を囲む関数を $\class{Boldfont}{\textsf{多変数関数}}\:$ という。} \\[5pt] \textsf{・左辺の$z,\:{\small{A\!A}}$を $\class{Boldfont}{\textsf{従属変数}}$という。} \\[5pt] \textsf{・独立変数のとりうる値の範囲を $\class{Boldfont}{\textsf{定義域}}$ といい、それに従属して従属変数 がとる値を $\class{Boldfont}{\textsf{値域}}$ という。}\end{array}$$

\(3\)変数以上の合成関数の偏微分

\(\begin{array}{l}\textsf{関数 $\large f$ が 変数$x{\tiny 1},\,x{\tiny 2},\,x{\tiny 3},\,\cdots\,,x{\tiny n}$ の関数 ${\large g}(x{\tiny 1},\,x{\tiny 2},\,x{\tiny 3},\,\cdots\,,x{\tiny n})$ の合成関数 である場合。} \\[10pt]\hspace{150pt} {\large f}(g{\small (x{\tiny 1},\,x{\tiny 2},\,x{\tiny 3},\,\cdots\,,x{\tiny n})})\\[10pt] \hspace{15pt}\left\{\begin{array}{l}\textsf{関数$\large f$ を関数$g$ の複数$(\textsf{$k$個})$の変数で偏微分する式}\hspace{15pt}\small\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x{\tiny k}}{\scriptsize\,=\,}\sum_{k=1}^n\displaystyle\frac{\partial f}{\partial g}\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x{\tiny k}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{$\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#二次偏導関数}{\textsf{高次偏導関数}}$の導出ではないので注意$!$}\} \\[10pt] \textsf{関数$\large f$ を関数$g$ の変数 $x{\tiny i}$ で偏微分する式}\hspace{15pt}\small\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x{\tiny i}}{\scriptsize\,=\,}\displaystyle\frac{\partial f}{\partial g}\displaystyle\frac{\partial g}{\partial x{\tiny i}}\end{array}\right.\end{array}\)

関数の連続性

ある関数\(f{\small(x)}\)に連続性がある定義

$${\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{x}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize a}}}}\!\!f{\small (x)}{\small\,=\,}f{\small (a)}$$

対数関数の連続性

\(\textsf{$C1({\small C^1})$級関数$,\,C2({\small C^2})$級関数$,\,Cn({\small C^n})$級関数とは}\)

\(\textsf{高階微分、多変数関数}\)

ガンマ関数

ガンマ関数は \(\color{red}\underline{\color{black}{\textsf{階乗 を一般化$\small(\textsf{拡張})$した関数}}}\) である。

 階乗は \(n{\scriptsize !}\) と表記され、定義は\(\small n{\scriptsize !}{\scriptsize\,=\,}n\!\times\!(n{\scriptsize -1})\!\times\!(n{\scriptsize -2})\!\times\!(n{\scriptsize -3})\!\times\cdots\!\times\!{1}\hspace{5pt}{\scriptsize(\textsf{$n$は自然数、括弧内の各項は非負の整数})}\)であるが、 この定義を、\(n\)と各項の要素を \(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/complex-number/}{\textsf{複素数}}\)全体にまで拡張した関数がガンマ関数ということになる。

\(\class{Boldfont}{\textsf{ガンマ関数の表記と自然数$n$の階乗との関係式}}\)

\({\large\varGamma}{\small(n)}{\small\,=\,}(n-1)!\hspace{10pt}\Longleftrightarrow\hspace{10pt}n!{\small\,=\,}{\large\varGamma}{\small(n+1)}\)

\(\begin{array}{l}{\large\varGamma}{\small (z)}{\small\,=\,}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\!t^{z-1}e^{-t}\,dt\hspace{50pt}\left\{\small\textsf{$z$ は実部が正である複素数$\scriptsize (z\gt 0)$。$t$ は $z^{\scriptsize 2}$。}\right\}\\[20pt] \color{gray}{\textsf{[事例]}} \\[5pt] \\ z{\small\,=\,}1 \\[5pt] \hspace{-10pt}{\large\varGamma}{\small (1)}\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\!t^{1-1}e^{-t}\,dt\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}\underline{\displaystyle\int_{0}^{\infty}\!{\color{darkgray}{1\cdot}} e^{-t}\,dt\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}\left[{\scriptsize -}e^{-t}\right]_{0}^{\infty}}\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}\left[{\small-\displaystyle\frac{1}{e^{t}}}\right]_{0}^{\infty}\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}\left[\small-\displaystyle\frac{1}{e^{\infty}}\right]-\left[\small-\displaystyle\frac{1}{e^{0}}\right]\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}{\small\,-\,}0{\small\,-\,}({\small\,-\,}1)\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}1 \\[10pt]\hspace{100pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{過程のアンダーラインを引いた式について、$e^{-t}$の不定積分が ${\scriptsize -}e^{-t}$になることを証明してみよう。} \\ {\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize -t}dt} \\ \small\textsf{$ -t{\scriptsize\,=\,} u$とおき、${\scriptsize\displaystyle\frac{d}{dt}}({\tiny -}t)\,dt{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{d}{du}}u\,du$ とすると、$-1\cdot dt{\scriptsize\,=\,}1\cdot du$ となり、$dt{\scriptsize\,=\,}-du$ ということになる。} \\ \small\textsf{これを、与式 ${\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize -t}dt}$にあてはめてみる。} \\ \small\textsf{${\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize u}({\scriptsize -}du)}{\scriptsize\,=\,}{-\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize u}\,du}{\scriptsize\,=\,}-e^{u}$ したがって、${\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize -t}dt}{\scriptsize\,=\,}-e^{-t}$ となる。} \end{array}\right\}\\[5pt] \\ z{\small\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2} \\[5pt] \hspace{-10pt}{\large\varGamma}{\small({\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}})}\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\!t^{{\tiny\displaystyle\frac{1}{2}}-1}e^{-t}\,dt\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}\displaystyle\int_{0}^{\infty}\!u^{-1}e^{-u^{2}}\,2udu\hspace{5pt}{\small\,=\,}\hspace{5pt}\end{array}\)