統計

正規分布

正規分布とは、統計で用いられる連続型確率分布の確率変数による分布である。平均値、最頻値、中央値が一致し、左右対称な分布になる。

\[\overset{\textsf{①}}{{\LARGE f}{(x)}}{\small\,=\,}{\displaystyle\frac{1}{\underset{\phantom{aa}\normalsize\textsf{②③}}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}}}\,{\underset{④}{\Large e}}^{-\scriptsize\displaystyle\frac{\overset{\phantom{aaaa}\large\textsf{⑤}}{(\,x-\mu\,)^{2}}}{2\sigma^{2}}}\hspace{30pt}\overset{\textsf{⑥}}{(x\in\Bbb R)}\]

\(\left\{\begin{array}{l}\textsf{①$\hspace{5pt}{\large f}{\small({x})}$は確率密度関数。}\hspace{10pt}{\large f}{\small(x)}{\small\,=\,}P{\small(a\leqq X \leqq b)}{\small\,=\,}\small\displaystyle\int_{b}^{a}\!\!\!{\normalsize f{\tiny X}}{\scriptsize(x)}dx \\[10pt]\textsf{②$\hspace{5pt}\pi(\small\textsf{パイ})$} \\[10pt]\textsf{③$\hspace{5pt}\sigma^{2}(\small\textsf{シグマの二乗})$は 分散 の記号で、データの全数値${\small(\textsf{確率変数})}$の範囲$(\small\textsf{母集団})$を基準とする値$(\small\textsf{母数、またはパラメータ})$。} \\ \hspace{20pt}\textsf{確率変数$x$を引数にとった表記は $E{\small (x)}$。} \\[5pt]\hspace{30pt}\left\{\begin{array}{l}\textsf{分散の公式$\hspace{10pt}\sigma^{2}{\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{n}}\small\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x{\tiny i}{\scriptsize\,-\,}\overline{x})$} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{$n$はデータの全数値、$i$は全数値の各番号、$\overline{x}$は全数値の平均値$\{\overline{x}{\tiny\,=\,}\tiny\displaystyle\frac{1}{n}{\tiny\displaystyle\sum_{i=1}^{n}}\small x{\tiny i}{\tiny\,=\,}{\tiny\displaystyle\frac{1}{n}}(x{\tiny 1}{\tiny\,+\,}x{\tiny 2}{\tiny\,+\,}x{\tiny 3}{\tiny\,+\,}\cdots {\tiny\,+\,} x{\tiny n})\}$を表す。} \\ \textsf{$\sigma^{2}$から指数を除いた$\sigma$は 標準偏差 を表す。$\sigma{\small\,=\,}\sqrt{{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{n}}\scriptsize\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x{\tiny i}{\scriptsize\,-\,}\overline{x})}$} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{標準偏差はデータの全数値が平均値$(\textsf{グラフの中央線})$からどれほど離散しているかを基準とする値で、} \\ \hspace{20pt}\small\textsf{確率変数$x$を引数にとった表記は$V{\small(x)}$。} \end{array}\right\}\\[10pt]\textsf{④$\hspace{5pt}e$}\\[10pt]\textsf{⑤$\hspace{5pt}\mu{\small(\textsf{ミュー})}$は平均$(\textsf{期待})$値を表す。データの全数値の母平均を基準とする値$(\small\textsf{母数、またはパラメータ})$}\end{array}\right.\)

対数正規分布

\[{\LARGE f}{(x)}{\,=\,}{\large\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}\,\sigma x}}\,{\LARGE e}^{-\scriptsize\displaystyle\frac{({\class{Boldfont}{log}}\,x{\scriptsize\,-\,}\sigma)^{2}}{2\sigma^{2}}}\hspace{30pt}{(x\in\Bbb R)}\]

\[{\large log \,f{\small(x)}{\small\,=\,}log\left\{\small\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^{2}}}{\large e}^{-\tiny\displaystyle\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}\right\}\,\Rightarrow\,log \,f{\small(x)}{\small\,=\,} {\small-\displaystyle\frac{1}{2}}}\left\{{\normalsize log}\,{2\pi}{\small\,+\,}log\,\sigma^{2}{\small\,+\,}\small\displaystyle\frac{(x{\,-\,}\mu)^{2}}{\sigma^{2}}\right\}\]

ガンマ分布

\(\begin{array}{l}\textsf{ガンマ分布は任意の単位時間や単位面積 $\lambda$ の間に $1$ 回起きることが期待できる現象が、実際に起きるまでの時間の分布である。}\end{array}\)

\[{\large f}{\small(x)}{\small\,=\,}\underset{\textsf{①$\,$②$\,$③$\,$}}{\small\displaystyle\frac{1}{\varGamma{\scriptsize (k)}\theta^{k}}}x^{\overset{\Large\textsf{④}}{\scriptsize k – 1}}e^{\overset{\Large\textsf{⑤}}{\tiny-\displaystyle\frac{x}{\theta}}}\]

\(\left\{\begin{array}{l}\textsf{①$\hspace{5pt}\varGamma\small{(\textsf{ガンマ})}$は ガンマ関数 を表す。} \\[5pt]\textsf{②$\hspace{5pt}k$は 形状母数。ガンマ分布を特徴付けるパラメータ$(\small\textsf{定数})$である。$\hspace{10pt}k\gt 0$} \\[5pt] \textsf{③$\hspace{5pt}\theta$は尺度母数。ガンマ分布を特徴付けるパラメータ。$\hspace{10pt}\theta\gt 0$} \end{array}\right.\)