三角関数の微分・積分

 この事例は\(\href{https://showanojoe.com/template-math/about-functions/#合成関数}{\color{teal}\textsf{合成関数}}\) の微分になる。
\(2x\) を \(u\) とおくと、\(y^{\prime}{\small\,=\,}(tan{\large u})^{\prime}{\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{dy}{dx}}\)\({\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{dy}{du}}\cdot{\scriptsize\displaystyle\frac{du}{dx}}\)\({\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{cos^{2}{\small u}}}\cdot 2\)
\(u\) は \(2x\) なので \(2\,{\small\displaystyle\frac{1}{cos^{2}{\normalsize x}}}{\color{#00ff7f}\checkmark}\)

 合成関数をイメージする。
\({\normalsize y}{\scriptsize\,=\,}\left\{f{\scriptsize ({g}{\tiny(x)})}\right\}\)\(\,\rightarrow\,{\normalsize y}\)\({\scriptsize\,=\,}{\normalsize f}{\scriptsize(u)},\,{\normalsize g}{\scriptsize(x)}{\scriptsize\,=\,}u\)と置くと、合成関数である \(cos^{2}{\large x}\) は、 \({\normalsize f}{\scriptsize(u)}\)\({\scriptsize\,=\,}\boxed{{\phantom{aaa}}}^{~2},\,{\normalsize u}{\scriptsize\,=\,}\boxed{{\phantom{aaa}}}\) とイメージできる。\(\boxed{{\phantom{aaa}}}\) の中身は \(cos{\large x}\) である。それで、\(\href{https://showanojoe.com/template-math/about-functions/#合成関数の微分}{\color{teal}\textsf{合成関数の微分}}\)の手順と公式 から、\({\normalsize y}^{\,\prime}\)\({\scriptsize\,=\,}\left\{f{\scriptsize ({g}{\tiny(x)})}\right\}^{\prime}\)\(\,\rightarrow\,{\normalsize y}^{\,\prime}\)\({\scriptsize\,=\,}\left\{f{\scriptsize ({u})}\right\}^{\prime}\)\(\,\rightarrow\,\scriptsize\displaystyle\frac{dy}{dx}\)\({\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{dy}{du}\cdot\scriptsize\displaystyle\frac{du}{dx}\)\({\normalsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}{\normalsize y}^{\,\prime}{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\normalsize 2u\cdot{\small-}sin{\large x}}\) なので、\((cos^{2}{\large x})^{\prime}\)\({\scriptsize\,=\,-}2cos{\large x}sin{\large x}\)
\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/kastatutory-law/#2倍角の公式}{\color{teal}\textsf{$2$倍角の公式}}\) \(sin2{\large\alpha}\)\({\small\,=\,}2sin{\large\alpha}cos{\large\alpha}\) より、\({\small -}sin2x\) が解答になる。
 また、\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/kastatutory-law/#半角の公式}{\color{teal}\textsf{半角の公式}}\:cos^{2}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}{\large\alpha}\)\({\small\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1+cos{\small\alpha}}{2}}\) からの解法も解説する。
\(\alpha\) を \(2\alpha\) から \(2x\) に置き換えて、\(cos^{2}{\large x}{\small\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1+cos2{\small x}}{2}}\)
 \(\hspace{3pt}\rightarrow\hspace{3pt}(cos^{2}{\large x})^{\prime}\)\({\small\,=\,}\left({\scriptsize\displaystyle\frac{1+cos2{\small x}}{2}}\right)^{\prime}{\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}(1{\small\,+\,}cos2x)^{\prime}\)\({\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}(0{\small\,-\,}2sin2x){\small\,=\,}{\small\,-\,}sin2x{\color{#00ff7f}\checkmark}\)

 \(2x{\small\,=\,}t\) とおくと、\({\small\displaystyle\frac{dt}{dx}}{\small\,=\,}2\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}dx\)\({\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}dt\)
非積分関数 \(sin2x\) を \(t\) に置換したことにより、積分区間は \(x:{\small 0{\,\mapsto\,}1}\) から \(t{\small\,=\,}2x:{\small 0{\,\mapsto\,}2}\)に変換(\(0,\,1\) をそれぞれ \(t{\small\,=\,}2x\) の \(x\) に代入する)されるので、与式は\({\small\displaystyle\int_{0}^{2}}sin{\normalsize t}\,{\small\displaystyle\frac{1}{2}}dt\)\({\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}{\small\displaystyle\int_{0}^{2}}sin{\normalsize t}\,dt\) となる。
\({\small\displaystyle\frac{1}{2}}{\small\displaystyle\int_{0}^{2}}sin{\normalsize t}\,dt\)\({\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}{\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}{\Large\lbrack}{\small -}cos{\normalsize t}{\Large\rbrack}_{0}^{2}\)\({\small\,=\,-}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}(cos2{\small -}cos0)\)\({\small\,=\,-}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}({\small-\displaystyle\frac{1}{2}}{\small -}1)\) なので \({\small\displaystyle\frac{3}{4}}{\color{#00ff7f}\checkmark}\)