積分2 (2重積分)

 事例では、\(x\) の領域が指定されていないので、\(y{\small\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}x^{2}{\small\,+\,}1,\,y{\small\,=\,}{\small\,-}x{\small\,+\,}3\) のグラフを図示して \(x\) の領域を求める必要がある。

\(\small\displaystyle\int_{0}^{1}\fcolorbox{gray}{#fff}{$\!\!\int_{x}^{1} -3e^{-y^{2}}\,dy$}dx\)\({\normalsize\hspace{5pt}\cdots\hspace{5pt} ?!}\)
縦線領域なので、先に \(\color{gray}\small\boxed{{\phantom {aa}}}\)内の累次積分になるのだが、\(y\) で\(\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#偏微分}{\color{teal}\textsf{偏微分}}\)する \(-3e^{-y^{2}}\) の\(\href{https://showanojoe.com/template-math/integral/#積分の定義}{\color{teal}\textsf{原始関数}}\)が初等関数では表せない\((\textsf{指数部に $y$ があるので $y$ で積分できない})\)。 そこで、\(y\) の領域が \(x\) の 関数\({\large f}{\small(x)}\) になっている 縦線領域 \(D{\scriptsize\,=\,}(x,\,y\,|\,0\:{\scriptsize \leqq}\:x\:{\scriptsize \leqq}\:1,\,x\:{\scriptsize \leqq}\:y\:{\scriptsize \leqq}\:1)\)\(x\) は \(0\) から \(1\) に移動し、\(y\) は \(f{\scriptsize(y)}{\small\,=\,}x\) から \(1\) に伸びる。} を、 \(x\) の領域が \(y\) の関数\({\large f}{\small(y)}\) になる横線領域 \(\color{red}D{\scriptsize\,=\,}(x,\,y\,|\,0\:{\scriptsize \leqq}\:x\:{\scriptsize \leqq}\:y,\,0\:{\scriptsize \leqq}\:y\:{\scriptsize \leqq}\:1)\)\(x\) は \(0\) から \(f{\scriptsize (x)}{\small\,=\,}y\) に伸び、\(y\) は \(0\) から \(1\) に移動する。} と交換する。右上図\(2\)を参照。
\(\small\displaystyle\int\!\!\!\int_D -3e^{-y^{2}}\,dxdy\)\(\hspace{10pt}D{\scriptsize\,=\,}(x,\,y\,|\,y\:{\scriptsize \leqq}\:x\:{\scriptsize \leqq}\:1,\,0\:{\scriptsize \leqq}\:y\:{\scriptsize \leqq}\:1)\)\({\small\,=>\,}\small\displaystyle\int_{0}^{1}\fcolorbox{gray}{#fff}{$\!\!\int_{0}^{y} -3e^{-y^{2}}$}\,dy\)\({\small\,=\,}\small\displaystyle\int_{0}^{1}\left[-3\cdot xe^{-y^{2}}\right]_{0}^{y}\,dy\,\)\({\small\,=\,}-3\small\displaystyle\int_{0}^{1}ye^{-y^{2}}\,dy\)
\({\small -}3\) を定数倍、\(e^{-y^{2}}\) を定数とし、\(x\) に \(y\) を代入した。\(\overset{y^{2}{\small\,=\,}t}{\small~=>\,}-3{\small\displaystyle\int_{0}^{1}}\sqrt{t}\,({\small -}e^{-t}){\small\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{t}}}\cdot dt{\small\,=\,}-3\cdot {\small\displaystyle\frac{1}{2}}\left[{\small -}e^{-t}\right]_{0}^{1}\)\({\small\,=\,}{\small-\displaystyle\frac{3}{2}}({\small-\displaystyle\frac{1}{e^{t}}}{\small -}(-1))\)\({\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{3}{2e^{t}}-\displaystyle\frac{3}{2}}\)
\(y^{2}\) を \(t\) に置換すると \(y{\small\,=\,}\sqrt{t}\) となるので、\(y\) を \(\sqrt{t}\) に変換。\(e^{-t}\) の原始関数\((\textsf{不定積分})\)は \({\small -}e^{-t}\) になる\((\small\textsf{以下証明})\)。\({\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize -t}dt} \left\{\begin{array}{l}\small\textsf{$ -t{\scriptsize\,=\,} u$とおき、${\scriptsize\displaystyle\frac{d}{dt}}({\tiny -}t)\,dt{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{d}{du}}u\,du$ とすると、} \\ \hspace{20pt}\small\textsf{$-1\cdot dt{\scriptsize\,=\,}1\cdot du$ となり、$dt{\scriptsize\,=\,}-du$ ということになる。} \\ \small\textsf{これを、与式 ${\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize -t}dt}$にあてはめてみる。} \\ \small\textsf{${\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize u}({\scriptsize -}du)}{\scriptsize\,=\,}{-\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize u}\,du}{\scriptsize\,=\,}-e^{u}$ したがって、${\scriptsize\displaystyle\int}{\small e^{\scriptsize -t}dt}{\scriptsize\,=\,}-e^{-t}$ となる。} \end{array}\right.\)

 まずは領域を特定してみる。指定の関数 \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) は 中心点の座標が\((0,\,0)\)の \(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/equation-circle/}{\color{teal}\textsf{円の方程式}}\) である。領域は半径\(r\) の円周以内であることが推測できる。

\(x^{2}{\small\,+\,}y^{2}{\scriptsize\,=\,}r^{2}\)\({\scriptsize \hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}\)\(y^{2}{\scriptsize\,=\,}r^{2}{\small\,-\,}x^{2}{\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}y{\scriptsize\,=\,}{\small\sqrt{r^{2}{\small\,-\,}x^{2}}}\)
 図\(3\) から、\(\small D\small{\scriptsize\,=\,}(x,\,y\,|\, {\scriptsize -}r\:{\tiny \leqq}\hspace{3pt}x \:{\tiny \leqq}\:r,\,{\scriptsize -}{\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\:{\tiny \leqq}\hspace{3pt}y \hspace{3pt}{\tiny \leqq}\:{\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\,)\)の縦線領域が\(2\)重積分の計算はしやすい。

\(\small\displaystyle\int\!\!\!\int_D x^{2}\,dxdy\hspace{5pt}{\small\,=>\,}\small\displaystyle\int_{-r}^{r}\fcolorbox{gray}{#fff}{$\!\!\int_{-\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}}^{\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}} x^{2}\,dy$}dx\) \({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\small\displaystyle\int_{-r}^{r}{\Large\lbrack}x^{2}y{\Large\rbrack}_{\scriptsize-\sqrt{r^{2}-x^{2}}}^{\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\,dx{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}2\small\displaystyle\int_{-r}^{r}x^{2}\left({\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\right)\,dx\)

 区間(上下端)が符号の違い、被積分関数が\(\href{https://showanojoe.com/template-math/graph/#偶関数_奇関数}{\color{teal}\textsf{偶関数}}\)なので、
\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}2\cdot 2\small\displaystyle\int_{0}^{r}x^{2}\left({\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\right)\,dx{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}} 4\small\displaystyle\int_{0}^{r}x^{2}\left({\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\right)\,dx\)
 右辺の \(4\,\times\,{\scriptsize\displaystyle\int_{0}^{r}x^{2}\left({\scriptsize\sqrt{r^{2}-x^{2}}}\right)\,dx}\)、 すなわち図\(4\)でみる円の面積を\(4\)等分した累次積分の過程となった。

 次に \(x\) を \(r\,sin\theta\) と置く。    ☜ 置換積分の\(\href{https://showanojoe.com/template-math/integral/#置換積分_2}{\color{teal}\small\textsf{[事例2]}}\)
\({\scriptsize\displaystyle\frac{dx}{d\theta}}{\small\,=\,}r\,cos\theta{\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}dx{\small\,=\,}r\,cos\theta\,d\theta\hspace{10pt}x:0\mapsto 1\hspace{5pt}\theta:0\mapsto {\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}\) \(\hspace{20pt}\{\small sin\theta{\scriptsize\,=\,}0{\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}\theta{\scriptsize\,=\,}0,\:sin\theta{\scriptsize\,=\,}1{\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}\theta{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}\hspace{10pt}{\normalsize\textsf{☜}}\,\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/cosine-trigonometric-ratio/#三角比の盤}{\color{teal}\textsf{三角比}}\}\)
\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}4\small\displaystyle\int_{0}^{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{2}\theta{\scriptsize \sqrt{r^{2}\,(1^{2}-sin^{2}\theta})}\,cos\theta\,d\theta\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}4\small\displaystyle\int_{0}^{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}r\,sin^{2}\theta\,{\small cos\theta\,cos\theta\,d\theta}\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}4\small\displaystyle\int_{0}^{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}r\,sin^{2}\theta\,{\small cos^{2}\theta\,d\theta}\)

 ここで被積分関数を\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/kastatutory-law/#2倍角の公式}{\color{teal}\textsf{\(2\)倍角の公式}}\)に導く発想をする。
\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}r\small\displaystyle\int_{0}^{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}4\,sin^{2}\theta\,{\small cos^{2}\theta\,d\theta}\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}r\small\displaystyle\int_{0}^{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}(2sin\theta\,cos\theta)^{2}\,d\theta\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}r\small\displaystyle\int_{0}^{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{2}2\theta\,d\theta\)

 ここで\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/kastatutory-law/#半角の公式}{\color{teal}\textsf{半角公式}}\)に導く発想をする。
\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}r\small\displaystyle\int_{0}^{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1-cos4\theta}{2}}\,d\theta\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}r\cdot {\small\displaystyle\frac{1}{2}}\small\displaystyle\int_{0}^{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}1-cos4\theta\,d\theta\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\small\displaystyle\frac{r}{2}}{\Large\lbrack}\theta-{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{4}}sin4\theta{\Large\rbrack}_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)

 \(1\)を\(\theta\)で積分すると、\(1\cdot \theta\)、  および、\(-cos4\theta\)を\(\theta\)で積分するのに、まずは \(t{\small\,=\,}4\theta{\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}4d\theta{\small\,=\,}dt\,\)\({\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}d\theta{\small\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{4}}dt\)
 なので \({\small\displaystyle\int}{\small cos}{t}\,{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{4}}\cdot dt\)\({\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{4}}{\small sin}{t}{\scriptsize\;+\;}C\)\({\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{4}}{\small sin}{4\theta}{\scriptsize\;+\;}C\) よって、\(F\) は \(\theta-{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{4}}sin4\theta\) となる。

\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\small\displaystyle\frac{r}{2}}\left\{\left({\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}-{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{4}}sin2\pi\right)-(0)\right\}\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\small\displaystyle\frac{r}{2}}\left({\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}-0\right)\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\small\displaystyle\frac{\pi\,r}{4}}{\color{#00ff7f}\checkmark}\)\(\hspace{25pt}{\small sin2\pi{\scriptsize\;=\;}0}\)\(\hspace{5pt}{\textsf ☜}\,\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/extension-trigonometric-ratios/#グラフで三角比を表記}{\color{teal}\small\textsf{グラフで三角比を表記}}\)

 まずは円の方程式が \(x^{2}{\small\;+\;}y^{2}{\scriptsize\;\leqq\;}2x\) ということなので、この\(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/inequality/}{\color{teal}\textsf{$2$次不等式}}\)を式変形して図示しやすい\(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/equation-circle/}{\color{teal}\textsf{円の方程式}}\)にする。
\(x^{2}{\small\;+\;}y^{2}{\scriptsize\;\leqq\;}2x\)\(\hspace{10pt}\small\Rightarrow\hspace{10pt}\)\(x^{2}{\small\;+\;}y^{2}{\small\;-\;}2x{\scriptsize\;\leqq\;}0\) この式を\(\href{https://showanojoe.com/template-math/graph/#平方完成}{\color{teal}\textsf{平方完成}}\)により \(\hspace{5pt}\small\Rightarrow\hspace{10pt}\)\((x^{2}{\small -}2x{\small +}1){\small\;-\;}1{\small \;+\;}y^{2}{\scriptsize\;\leqq\;}0\)\(\hspace{10pt}\small\Rightarrow\hspace{10pt}\)\((x{\small -}1)^{2}{\small\;-\;}1{\small \;+\;}y^{2}{\scriptsize\;\leqq\;}0\)\(\hspace{10pt}\small\Rightarrow\hspace{10pt}\)\((x{\small -}1)^{2}{\small \;+\;}y^{2}{\scriptsize\;\leqq\;}1\)
これで求まる\(2\)重積分の領域は中心が \(x{\small\;=\;}1\)、\(x{\small\;=\;}0\) の座標点の半径 \(1\) の円である察しが付く。
 この円の領域の 偏角\(\theta\) の範囲は \(\color{gray}{\small -}\small\displaystyle\frac{\pi}{2}{\small\;\leqq\;}{\theta}{\small\;\leqq\;}\small\displaystyle\frac{\pi}{2}\)。
 距離\(r\) の範囲は、\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/cosine-trigonometric-ratio/#直角三角形の三角比}{\color{teal}\textsf{直角三角形の三角比}}\)に着目して \(r{\small\;=\;}{\large f}{\small(\theta)}\) の方程式 \(\small\displaystyle\frac{r}{2}{\small\;=\;}cos\theta\)\(\hspace{10pt}\small\Rightarrow\hspace{10pt}\)\(r{\small\;=\;}2cos\theta\) の偏角\(\theta\) が変化すると 距離\(r\) も変化する関数の方程式になる。上図から 距離\(r\)の最大値は \(2\) であることは明白である。それでその時の偏角は \(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/cosine-trigonometric-ratio/#三角比の表}{\color{teal}\textsf{$cos0{\small\;=\,}1$}}\) なので距離\(r\) の範囲は \(0{\scriptsize\;\leqq\;}r{\scriptsize\;\leqq\;}2cos\theta\) となる。以下に続けよう。

 \(\small\displaystyle\int\!\!\!\int_D x\,dxdy\)\(\hspace{10pt}\)\(D:x^{2}{\small\;+\;}y^{2}\)\(\hspace{10pt}\small\Rightarrow\hspace{10pt}\)\(\small\displaystyle\int\!\!\!\int_G {\color{red}r}\,r\,cos\theta\,drd\theta\)\(\hspace{10pt}\)\(G:0{\scriptsize\;\leqq\;}r{\scriptsize\;\leqq\;}2cos\theta\)\(,\,{\small -}\small\displaystyle\frac{\pi}{2}{\small\;\leqq\;}{\theta}{\small\;\leqq\;}\small\displaystyle\frac{\pi}{2}\)

\(\hspace{10pt}\small\Rightarrow\hspace{10pt}\)\(\small\displaystyle\int_{\tiny-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\!\fcolorbox{#C0C0C0}{#fff}{$\!\int_{\scriptsize 0}^{\scriptsize 2cos\theta}r^{2}\,cos\theta\,dr$}d\theta\)\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}\)\(\small\displaystyle\int_{\tiny-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\LARGE\lbrack}{\small\displaystyle\frac{r^{3}}{3}}cos\theta{\LARGE\rbrack}_{0}^{2cos\theta}d\theta\)\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}\)\(\small\displaystyle\int_{\tiny-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\small\displaystyle\frac{(2cos\theta)^{3}}{3}}cos\theta{\small\;-\;}0\,d\theta\)
\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}\)\({\small\displaystyle\frac{8}{3}}\small\displaystyle\int_{\tiny-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{4}\theta\,d\theta\)

\(\href{https://showanojoe.com/template-math/graph/#偶関数_奇関数}{\color{teal}\textsf{偶関数}}\)の性質により係数が\(2\)倍されて、
\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}\)\({\small\displaystyle\frac{16}{3}}\small\displaystyle\int_{\tiny-\displaystyle\frac{\pi}{2}}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{4}\theta\,d\theta\)

被積分関数\(cos^{4}x\) を\(\href{https://showanojoe.com/template-math/integral/#定積分の漸化式を2重階乗で表記}{\color{teal}\textsf{漸化式の\(2\)重階乗}}\)で表すと、
\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}\)\({\small\displaystyle\frac{16}{3}}\)\(\cdot{\Large\lbrack}\;\)\(\color{red}\underline{\color{black}{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}\cdot{\small\displaystyle\frac{(4-1)!!}{4!!}}}\)\(\;{\Large\rbrack}\)

\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}\)\({\small\displaystyle\frac{16}{3}}\cdot{\small\displaystyle\frac{3\pi}{16}}\)\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}{\large\pi}{\color{#00ff7f}\checkmark}\)