極限と微分

極限
微分

極限

極限の表記 $\hspace{10pt}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-27pt}{\scriptsize{{\small x}^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol a}}}}\!\!{\large f}{\small (x)}$

$\begin{array}{l}\textsf{関数${\large f}{\small (x)}$ の $\color{red}\underline{\color{black}{\textsf{変数$x$ が $a(\small\textsf{実数})$ と異なる値をとりながら限りなく$a$に近づく事象}}}$ を関数${\large f}{\small (x)}$の極限といい、${\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-27pt}{\scriptsize{{\small x} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol a}}}}\!\!{\large f}{\small (x)}$ と表記} \\ \hspace{10pt}\textsf{する。このとき限りなく$a$に近づいた関数${\large f}{\small (x)}$の$\color{red}\underline{\color{black}{\textsf{近似値$(x\risingdotseq a)$を極限値}}}$ という。}\end{array}$

微分係数

${\large f}^{\prime}\!{\small (a)}\hspace{10pt}\Leftarrow\hspace{10pt}{\small\displaystyle\frac{{\scriptsize{\normalsize f}(x)-}{\normalsize f}\scriptsize(a)}{x-a}}\hspace{10pt}\Leftarrow\hspace{10pt}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-27pt}{\scriptsize{{\small x} { }^{\phantom{\large x}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol a}}}}\!\!{\large f}{\small (x)}{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-27pt}{\scriptsize{h { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{{\scriptsize{\normalsize f}(a+{} h)-}{\normalsize f}\scriptsize(a)}{h}}$

\(\begin{array}{l}\textsf{関数${\large f}{\small (x)}$ の極限値 ${\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^{\tiny\phantom{\tiny a}}}}{\hspace{-23pt}{{\small x}{\scriptsize{\rightarrow}} {\scriptsize a}}}}\!\!{\large f}{\scriptsize (x)}$ の計算から微分係数を求める手順である。$h$ は一意$(\small\textsf{指定した})$の実数とする。関数${\large f}{\small (x)}$ の変数$x$} \\ \hspace{10pt}\textsf{を実数$a$に限りなく近づけて、$x$ の増加量$\small(x-a=h)$ を $0$ に近づける。${\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^{\tiny\phantom{\tiny a}}}}{\hspace{-23pt}{{\small x}{\scriptsize{\rightarrow}} {\scriptsize a}}}}\!\!{\large f}{\scriptsize (x)}{\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{{\tiny{\small f}(a+{} h)-}{\small f}\tiny(a)}{h}}$ で得られた値が微分係数} \\ \hspace{10pt}\textsf{となる。これを ${\large f}^{\prime}\!{\small (a)}$ と表記し、$x{\scriptsize\,=\,}a$ における${\large f}{\small (x)}$ の微分係数という。}\end{array}\)

$\boxed{\color{gray}{\small\textsf{事例}}}\hspace{20pt}{\large f}{\small (x)}{\scriptsize\,=\,}2x^2 – 1\,\textsf{のとき、}\textsf{$x{\scriptsize\,=\,}5$における${\large f}{\small (x)}$ の微分係数${\large f}^{\prime}\!{\small (5)}$ を求めてみる。}$

$${\large f}^{\prime}\!{\small (5)}\left\{\begin{array}{l}{\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{{\scriptsize{\small f}(5+h)-}{\small f}\scriptsize(5)}{h}} \\ {\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{h}{\scriptsize{\small f}(5+h)-}{\small f}\scriptsize(5)}{\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{h}\{2(5+h)^2 – 1- (2\cdot 5^2 -1)\}} \\ {\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{h}\{50+20h+2h^2 – 1- 50+1\}} \\ {\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!\small{20+2h}\hspace{50pt}\lbrace\small\textsf{$h$に$0$を代入。}\rbrace \\ {\scriptsize\,=\,}\small20\end{array}\right.$$

極限の公式

$$\begin{array}{l}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{x\scriptsize{\rightarrow}\scriptsize 0}}}}\!\!{\small(1+x)^{\frac{1}{x}}}\hspace{5pt}\small{=}\hspace{5pt} {\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{x\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize\! \infty}}}}\!\!{\small(1+\frac{1}{x})^{x}}\hspace{5pt}\small{=}\hspace{10pt} \boldsymbol{\large e} \\[5pt] {\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{x\scriptsize{\rightarrow}\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{e^x -1}{x}}\hspace{5pt}\small{=}\hspace{5pt}1\\[5pt] {\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{x\scriptsize{\rightarrow}\scriptsize 0}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{log\,(1+x)}{\small x}}\hspace{5pt}\small{=}\hspace{5pt} 1 \\[5pt] {\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{x\scriptsize{\rightarrow}\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{sin\,x}{x}}{\scriptsize\:=\:}{\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{x\scriptsize{\rightarrow}\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{x}{sin\,x}}{\scriptsize\:=\:}1 \end{array}$$

不定形の解消

$\textsf{極限の計算において、導出して得た極限値が}\hspace{5pt}\bbox[5pt, border: 1px solid black]{\hspace{10pt}{\small\displaystyle\frac{0}{0}},\hspace{15pt}{\small\displaystyle\frac{\infty}{\infty}}, \hspace{15pt}0\!\times\! \infty,\hspace{15pt} \infty\!-\!\infty,\hspace{15pt}1^\infty,\hspace{15pt} 0^0, \hspace{15pt}\infty^0}\hspace{10pt}\textsf{の場合、これらの不明な値を不定形という。}$

ここではこの不定形の解消が課題となり、計算過程の考慮を要する。

$\begin{array}{l}\textsf{因数分解、有理化}\end{array}$

無限級数

$\textsf{無限級数は $\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/sequence/}{\textsf{数列}}{\large a}\!\left\{n\right\}$ の無限個の項を加算したもの$\small(\textsf{級数})$をいう。}$

微分

微分の定義式$\hspace{10pt}{\large f}^{\prime}\!{\small(x)}{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{d{\normalsize f}{\scriptsize(x)}}{dx}}{\scriptsize\,=\,}{\small\it{l\hspace{1pt}i\hspace{1pt}m}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-27pt}{\scriptsize{{\it\Delta} { x}^{\phantom{\largea}}\hspace{-22pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{{\scriptsize{\normalsize f}(x+{\it\Delta} x)-}{\normalsize f}\scriptsize(x)}{{\small\it\Delta}x}}$

\(\begin{array}{l}\textsf{関数${\large f}{\small(x)}$を微分することは導関数${\large f}^{\prime}\!{\small(x)}$を導出することである。微分は ${\scriptsize\displaystyle\frac{d{\small f}{\tiny(x)}}{dx}}$ と表記され、計算式は ${\scriptsize\it{l\hspace{1pt}i\hspace{1pt}m}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-23pt}{\tiny{{\it\Delta} { x}^{\phantom{\normalsize a}}\hspace{-10pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol 0}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{{\tiny{\small f}(x+{\it\Delta} x)-}{\small f}\tiny(x)}{{\scriptsize\it\Delta}x}}$ となる。} \\ \hspace{10pt}\textsf{$\href{#1}{\textsf{極限}}$が${\large f}{\small(x)}$の極限値を求めることに対して微分は${\large f}{\small(x)}$の変数$x$の変化量$\it\Delta x$を限りなく$0$に近づけた $y{\scriptsize\,=\,}{\large f}{\small(x)}$ の変化量を求} \\ \hspace{10pt}\textsf{める。これは ${\class{Boldfont}{\textsf{平均変化率}}}\left(\small\displaystyle\frac{{\normalsize y}\lbrace{\tiny=}f{\scriptsize (x)}\rbrace\,\textsf{の変化量}}{{\normalsize x}\,\textsf{の変化量}}\right)$ に因る。平均変化率(変化の割合)はグラフでいう$\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/straight-lines-and-equations/#1}{\textsf{直線の傾き}}$である。} \end{array}\)

微分の公式

\(\begin{array}{l}\textsf{さて、関数${\large f}{\small(x)}$の微分は${\scriptsize\it{l\hspace{1pt}i\hspace{1pt}m}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-23pt}{\tiny{{\it\Delta} { x}^{\phantom{\normalsize a}}\hspace{-10pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol 0}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{{\tiny{\small f}(x+{\it\Delta} x)-}{\small f}\tiny(x)}{{\scriptsize\it\Delta}x}}$ の定義式から導出できるわけだが、この些か計算が面倒な定義式の代わりに簡易な微分公} \\ \hspace{10pt}\textsf{式がある。以下に記述する。} \\[5pt] \hspace{100pt}\left\{\begin{array}{l}{\large f}{\small(x)}{\scriptsize\,=\,}a \hspace{10pt}{\small\Rightarrow}\hspace{10pt}\small\displaystyle\frac{d{\normalsize f}{\scriptsize (x)}}{dx}{\scriptsize\,=\,}0 \hspace{20pt}\lbrace\small\textsf{定数$a$は$x{\scriptsize\,=\,}a$の直線となるので、定数の傾きは$0$である。図$1$を参照。}\rbrace \\ {\large f}{\small(x)}{\scriptsize\,=\,}ax^n\hspace{10pt}{\small\Rightarrow}\hspace{10pt}{\small\displaystyle\frac{d{\normalsize f}{\scriptsize (x)}}{dx}}{\scriptsize\,=\,}anx^{n-1}\hspace{20pt}\lbrace\small\textsf{$\color{red}\underline{\color{black}\textsf{係数$a$は変わらず}}$、変数$x$の指数が係数となり、次元が一つ下がる。}\rbrace\end{array}\right\} \end{array}\)

微分の定義式は専もっぱら証明問題で使われる。

接線の傾き$(\small\textsf{微分係数})$と接線の方程式

接線の傾き$(\small\textsf{微分係数})$

$\textsf{図$1$から}\left\{\begin{array}{l}\textsf{接線の傾きは $\href{#1-1}{\textsf{微分係数}}$ である。} \\ \textsf{関数${\large f}{\small (x)}$の曲線上の点$\color{red}{\large a}(x{\tiny a},{y}{\tiny a})$に接する直線$\color{red}l$の傾き$(\textsf{接線$\color{red}l$の傾き})$ は ${\large f}^\prime\!\!{\small ({\color{red}x{\tiny a}})}$ である。${\large f}{\small (x)}$から導出した} \\ \hspace{10pt}\textsf{導関数${\large f}^\prime\!\!{\small (x)}$の変数$x$に定数$\color{red}x{\tiny a}$を代入して求める。} \\ \textsf{関数${\large f}{\small (x)}$の曲線上の点$\color{blue}\large o$の接線の傾きは$0$である$(x{\scriptsize\,=\,}\color{blue}0)$。このように${\large f}{\small (x)}$の最小値$(\textsf{または最大値})$に位置する点} \\ \hspace{10pt}\textsf{との接線の傾きは$0$になる。}\end{array}\right.$

接線の方程式

$\textsf{関数$\,y{\scriptsize\,=\,}f{\small(x)}\,$の曲線グラフ上にある$x$座標の点$\,a\,$に接する直線$(\textsf{接線})\,l$の方程式}$

$$l{\scriptsize\::=\:}y{\scriptsize\,-\,}f{\small(a)}{\scriptsize\,=\,}f^{\prime}{\small(a)(x{\scriptsize\,-\,}a)}$$

関数の微分公式

\(\textsf{初等関数}\left\{\begin{array}{l}\overset{\hspace{-330pt}\Large (x^n)’\:{\scriptsize =}\:n\, x^{\small n-1}}{\hspace{70pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{変数$x$の指数$n$は実数全体$(\textsf{これを変数$x$のべき乗という})$である。} \\ \small\textsf{$($ちなみに、$n$を自然数に限定した指数は変数$x$の累乗という。$)$}\end{array}\right\}} \\[3pt] (\sqrt{x})'{\color{lightgray}\:{\scriptsize =}\:({\large x}^{\tiny\displaystyle\frac{1}{2}})’\:{\scriptsize =}\: \small\displaystyle\frac{1}{2} {\large x}^{\tiny\displaystyle\frac{1}{2}-1}\: =\: \small\displaystyle\frac{1}{2} {\large x}^{- \tiny\displaystyle\frac{1}{2}}\: =\: \small\displaystyle\frac{1}{2} {\large x}^{-1 \times \tiny\displaystyle\frac{1}{2}}\:=\: \left(\small\displaystyle\frac{1}{2}\times{\small\displaystyle\frac{1}{x}}\right)^{ \tiny\displaystyle\frac{1}{2}} \:=\: \left({\small\displaystyle\frac{1}{2x}}\right)^{\tiny\displaystyle\frac{1}{2}}\:}=\:\small\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}} \\[3pt] \left({\small\displaystyle\frac{1}{x}}\right)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}{-\small\displaystyle\frac{1}{x^2}} \\[3pt] \left(e^x\right)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}e^x \\[3pt] \left(log\,x\right)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}\small\displaystyle\frac{1}{x} \hspace{50pt}\{\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/exponents-and-logarithms/#証明2}{\color{teal}\textsf{証明}}\} \\[3pt] \left(a^x\right)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}a^{x}log\,a \hspace{50pt}\{\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/exponents-and-logarithms/#導出1}{\color{teal}\small\textsf{証明}}\}\end{array}\right.\)

$\textsf{三角関数}\left\{\begin{array}{l}\left(sin\,x\right)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}cos\,x \\[3pt] \left(cos\,x\right)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}{\small -}sin\,x \\[3pt] \left(tan\,x\right)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}\small\displaystyle\frac{1}{cos^{2}x}\end{array}\right.$

微分の計算課題のほとんどは関数の微分なので、以下の特殊基本関数の微分公式が微分計算の基本となる。

$\textsf{特殊基本関数}$$\left\{\begin{array}{l}{\large\lbrack}\left\{f{\scriptsize(x)}\right\}^{n}{\large\rbrack}^{\prime}{\small\;=\,}nf^{\prime}\!{\scriptsize (x)}\left\{f{\scriptsize (x)}\right\}^{n-1} \\[3pt]\left\{log|f{\small(x)}|\right\}^{\prime}{\small\;=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{f{\scriptsize (x)}}}f^{\prime}\!{\small (x)} \end{array}\right.$

逆数の微分公式

$${\textsf{逆数の微分公式}}$$

$$\left\{\small\displaystyle\frac{1}{f{\scriptsize(x)}}\right\}^{\prime}{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\,-\,}{\small\displaystyle\frac{f^{\prime}{\scriptsize(x)}}{\left\{f{\scriptsize(x)}\right\}^2}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{なお、この公式は逆関数の微分公式ではないので注意}\}$$

$$\color{gray}{\textsf{証明}}$$

\(\left\{\small\displaystyle\frac{1}{f{\scriptsize(x)}}\right\}^{\prime}\left\{\begin{array}{l}{\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{1}{f{\tiny(x+h)}}-{\displaystyle\frac{1}{f{\tiny(x)}}}}{\small h}} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{{\normalsize f}{{\small(x+h)}}{\normalsize f}{\small(x)}\,\left(\displaystyle\frac{1}{f{\tiny(x+h)}}-{\displaystyle\frac{1}{f{\tiny(x)}}}\right)}{\normalsize f{\small(x+h)}{\normalsize f}{\small(x)}\small h}} \hspace{50pt}\{\small\textsf{分母分子に $f{\small(x+h)}f{\small(x)}$ を掛ける。}\} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{{\normalsize f}{{\small(x+h)}}{\normalsize f}{\small(x)}\,\left(\displaystyle\frac{1}{f{\tiny(x+h)}}-{\displaystyle\frac{1}{f{\tiny(x)}}}\right)}{\normalsize f{\small(x+h)}{\normalsize f}{\small(x)}\small h}} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\it{lim}}_{\overset{\large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{{\scriptsize h} { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol {\scriptsize 0}}}}}\!\!{\scriptsize-\displaystyle\frac{\small 1}{\normalsize f{\small(x+h)}{\normalsize f}{\small(x)}\small h}}\cdot\small\displaystyle\frac{\normalsize f{\small(x+h)-{\normalsize f}(x)}}{h} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\,-\,}{\small\displaystyle\frac{f^{\prime}{\scriptsize(x)}}{\left\{f{\scriptsize(x)}\right\}^2}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{$h$に$0$の単純代入と微分の定義式の積による。}\}\end{array}\right.\)

偏微分

$\hspace{10pt}{\large f}{\small x{\tiny i}}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n}){\scriptsize\,=\,}\displaystyle\frac{\partial{\large f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})}{\partial x{\tiny i}}$

$\begin{array}{l}\textsf{偏微分とは、$n$個の多変数関数${\large f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})$の一意の変数$x{\tiny i}$のみを微分し、偏導関数$\small\displaystyle\frac{\partial {\normalsize f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})}{\partial x{\tiny i}}$を導出} \\ \hspace{10pt}\textsf{する微分法をいう。一意の変数$x{\tiny i}$以外の$n{\scriptsize\,-\,}1$個の変数は定数$(\textsf{実数})$とみなし、実際は${\large f}(x{\tiny i})$ の導関数の導出となる。} \\ \hspace{10pt}\textsf{これを関数${\large f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})$を変数$x{\tiny i}$で偏微分するという。}\end{array}$

偏微分可能

$2$次偏導関数

$\textsf{$\hspace{10pt}{\large f}{\small x{\tiny i}}{\small x{\tiny j}}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n}){\scriptsize\,=\,}\displaystyle\frac{\partial^2{\large f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})}{\partial x{\tiny j}\partial x{\tiny i}}$}$

\(\begin{array}{l}\textsf{関数${\large f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})$ を $x{\scriptsize i}$ で偏微分した偏導関数$\small\displaystyle\frac{\partial {\normalsize f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})}{\partial x{\tiny i}}$ が $x\tiny j$ で偏微分可能なとき $\small\displaystyle\frac{\partial {\normalsize f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})}{\partial x{\tiny i}}$ を $x{\tiny j}$ で偏微分した偏導関数は} \\ \hspace{10pt}\textsf{$2$次偏導関数$\hspace{5pt}\small\displaystyle\frac{\partial}{\partial x{\tiny j}}\left(\small\displaystyle\frac{\partial {\normalsize f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})}{\partial x{\tiny i}}\right){\scriptsize\,=\,}\displaystyle\frac{\partial^2{\large f}(x{\tiny 1},x{\tiny 2},x{\tiny 2},\cdots,x{\tiny n})}{\partial x{\tiny j}\partial x{\tiny i}}\:$ となる。高次$(\small\textsf{$3$次以上})$偏導関数においても、同様の繰り出し計算で導出できる。}\end{array}\)

偏微分係数

$\begin{array}{l}\textsf{関数${\large f}(x,y)$上の点$(a,b)$が極限値 ${\small\it{l\hspace{0pt}i\hspace{0pt}m}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-24pt}{\scriptsize{{h}^{\phantom{\largea}}\hspace{-22pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{{{f}{\scriptsize(a+h,b)-}}{f}\scriptsize(a,b)}{{\small}h}}$ をもつとき $x$ について $\textsf{偏微分可能}$ であり、この極限値を偏微分係数といい、${\small\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}}f{\small(a,b)}$ と表記する。} \\ \hspace{10pt}\textsf{$y$ については ${\small\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}}f{\small(a,b)}$。$\color{red}{\underline{\color{black}\textsf{偏導関数の表記は偏微分係数の$a,b$を$x,y$に置き換えた形式的な表記}}}$ ${{\scriptsize\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}}f{\small(x,y)}},\hspace{5pt}{\scriptsize\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}}f{\small(x,y)}$ になる。}\end{array}$

偏微分の接平面

\(\begin{array}{l}\textsf{$1$変数関数 ${\normalsize f}{\small (x)}$ の平面グラフ$({\small\textsf{曲線}})$上の点$a$ の傾き$({\scriptsize\textsf{微分係数${\small f^{\prime}}\!(a)$}})$ を接線$(\small\textsf{直線の式 $y{\scriptsize\,=\,}ax{\scriptsize\,+\,}b$})$ で表すならば、$2$変数関数 $f\small(x,y)$ の立体グラフ$({\small\textsf{曲面}})$上の点$(a,\,b)$ の傾き} \\ \textsf{$({\scriptsize\textsf{偏微分係数$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}{\small f}(a,\,b){\normalsize ,}$} \\ \hspace{5pt}{\scriptsize\textsf{$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}{\small f}(a,\,b)$}}})$ は接平面$(\small\textsf{平面の式 $z{\scriptsize\,=\,}ax{\scriptsize\,+\,}by{\scriptsize\,+\,}c$})$で表せる。} \\[5pt] \textsf{関数 $f{\small (x,\,y)}$ が$\href{https://showanojoe.com/template-math/about-functions/#C級関数}{\textsf{$C1$級関数}}$であるとき、点$(a,\,b)$ における $f(x,\,y)$ の接平面の定義式は、} \\[10pt] \hspace{200pt}\textsf{${\large z} {\scriptsize\:=\:} f_x{\small(a,\,b)(x{\scriptsize\,-\,}a)} {\scriptsize\,+\,} f_y{\small (a, b)(y{\scriptsize\,-\,}b)}{\scriptsize\,+\,}{\boldsymbol {f{\small (a, b)}}} $ } \hspace{50pt}\{\small\textsf{$f_x$ は $f$ を $x$ で微分する。$f_y$ は $f$ を $y$ で微分する表記。}\}\\[10pt] \hspace{350pt} \textsf{である。}\end{array}\)

全微分

$\begin{array}{l}\textsf{多変数関数の全ての変数が微小に変化した時の\(f$の変化量を求めるのが全微分である。} \\ \hspace{5pt}\textsf{全ての変数を微分した傾き(変化率)ではなく、$f$の微小な変化量を求める。
多変数関数の全ての変数を偏微分して、それぞれに微小の値を掛けて合算した値が全微分に} \\ \textsf{なる。}\end{array}\)

$\hspace{100pt}\begin{array}{l}\textsf{\(2$変数関数$f{\small(x,y)}$ の全微分} \\[10pt]\hspace{200pt} \textsf{全微分の与式}\hspace{30pt}df{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x}}dx{\scriptsize\,+\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}}dy \\[10pt]\textsf{なお、微分問題では定番の微分可能$(\small\textsf{ここでは全微分可能})$ の条件は $x$、$y$ の座標点 $a$、$b$ において} \\[10pt]\hspace{250pt}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-27pt}{\scriptsize{(h,k) { }^{\phantom{\large a}}\hspace{-8pt}{\tiny\boldsymbol{\rightarrow}}\boldsymbol (0,0)}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{{\scriptsize{\normalsize f}(a+h)(b+k)-{\normalsize f}(a,b)-{\normalsize A{\small h}}-{\normalsize B}{\small k}}}{h}}\hspace{30pt}{\small A{\scriptsize\,=\,}{\tiny\displaystyle\frac{\partial f{(a,b)}}{\partial x}}},\hspace{5pt}{\small B{\scriptsize\,=\,}{\tiny\displaystyle\frac{\partial f{(a,b)}}{\partial y}}} \\[10pt]\textsf{である。まぁ、とりあえず、何のこっちゃ!? でいい。} \\[5pt] \textsf{全微分の意味としては $df{\scriptsize\,=\,}f{\small(x+dx,y+dy)}{\scriptsize\,-\,}f{\small(x,y)}$、つまり$x$と$y$を変化させれば$f$がどれだけ変化するかをみる解析である。}\end{array}\)