- 基本変形1 行と行の交換 [\(\small{L\:\textsf{左基本変形}}\)]
- 基本変形2 列と列の交換 [\(\small{R\:\textsf{右基本変形}}\)]
- 基本変形3 任意の行の定数倍(\(\scriptsize{\neq 0}\))[\(L\) 左基本変形]
- 基本変形3 任意の列の定数倍(\(\scriptsize{\neq 0}\))[\(R\) 右基本変形]
- 基本変形5 一意の行に任意の行を定数倍(\(\scriptsize{\neq 0}\))して加算する[\(L\) 左基本変形]
- 基本変形6 一意の列に任意の列を定数倍(\(\scriptsize{\neq 0}\))して加算する[\(R\) 右基本変形]
基本変形1 行と行の交換 [\(\small{L\:\textsf{左基本変形}}\)]
〇行目と△行目を交換\(\rightarrow E\) の〇列目△行目と△列目〇行目を変換
\(\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ \hline {\large|} e & f & g & h {\large|} \\ \hline i & j & k & l \\ \hline {\large|} m & n & o & p {\large|} \\ \hline \end{array}~\right]\) \(\overset{L}{\to}~\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ \hline {\large|} m & n & o & p {\large|} \\ \hline i & j & k & l \\ \hline {\large|} e & f & g & h {\large|} \\ \hline \end{array}~\right]\)
[1]
\(E(=) \left[~\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \boxed{0} \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & \boxed{0} & 0 & 1~\end{array}~\right] \) \(\hspace{20pt}\) \(\left[~\begin{array}{cccc} \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline\end{array}~\right] \) \(\times\) \(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|} a & b & c & d \\ {\large|} e & f & g & h {\large|} \\ i & j & k & l \\ {\large|} m & n & o & p {\large|} \\ \end{array}~\right]\)
\(~=~\left[~\begin{array}{cccc} \hline a & b & c & d \\ \hline {\large|} m & n & o & p {\large|} \\ \hline i & j & k & l \\ \hline {\large|} e & f & g & h {\large|} \\ \hline \end{array}~\right]\)
[2]
上記[1]は \(L\:(\small\textsf{左基本変形})\) により、行列の2行目と4行目を入れ換える変形である。
[2]では対象の行列と同行同列の単位行列\(E\)から、2列目4行目(4行目2列目)の \(0\) と4列目2行目(2行目4列目)の \(0\) を \(1\) に入れ換えて \(1\)の左対角成分の形 に変形して[1]の手順とした。
基本変形2 列と列の交換 [\(\small{R\:\textsf{右基本変形}}\)]
〇列目と△列目を交換\(\rightarrow E\) の〇行目△列目と△行目〇列目を変換
\(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c} c & b & a & d \\ g & f & e & h \\ k & j & i & l \\ o & n & m & p \\ \end{array}~\right]\) \(\overset{R}{\leftarrow}\) \(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \end{array}~\right]\)
[1]
\(E(=) \left[~\begin{array}{cccc}1 & 0 & \boxed{0} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \boxed{0} & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1~\end{array}~\right] \) \(\hspace{20pt}\) \(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c} c & b & a & d \\ g & f & e & h \\ k & j & i & l \\ o & n & m & p \\ \end{array}~\right]\) \(=~\) \(\left[~\begin{array}{cccc} \hline a & b & c & d \\ \hline e & f & g & h \\ \hline i & j & k & l \\ \hline m & n & o & p \\ \hline \end{array}~\right]\) \(\times\)
\(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|}0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1~\end{array}~\right] \)
[2]
[1]は \(R\:(\small\textsf{右基本変形})\) により、行列の1列目と3列目を入れ換える変形である。
[2]では対象の行列と同行同列の単位行列\(E\)から、1行目3列目 の \(0\) と3行目1列目 の \(0\) を \(1\) に入れ換えて \(1\)の左対角成分の形 に変形して[1]の手順とした。
行の交換が\(L\)の左基本変形、列の交換が
\(R\)の右基本変形に分岐されるのは、行列の積が非可換だからである。\(~~{\color{yellow}{\rightarrow~~cf}}~~\small\color{lightgray}\textsf{雛形数学 > 線形代数 > 行列の演算 > }\href{https://showanojoe.com/template-math/linear-algebra/matrix-operation/#4}{\small\textsf{行列の積}}\)
基本変形3 任意の行の定数倍(\(\scriptsize{\neq 0}\))[\(L\) 左基本変形]
k・〇行目\(\rightarrow E\) の〇行目〇列目をkに変換
\(\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \end{array}~\right]\) \(\overset{L}{\rightarrow}\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ 3m & 3n & 3o & 3p \\ \end{array}~\right]\)
[1]
\(E(=)\left[~\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1}~\end{array}~\right] \) \(\hspace{20pt}\) \(\left[~\begin{array}{cccc} \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 3 \\ \hline\end{array}~\right] \) \(\times\) \(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|} a & b & c & d \\e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \end{array}~\right]\)
\(~=~\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ 3m & 3n & 3o & 3p \end{array}~\right]\)
[2]
[1]は \(L\:(\small\textsf{左基本変形})\) により、行列の4行目の成分を3倍する変形である。
[2]では対象の行列と同行同列の単位行列\(E\)から、4列目4行目(4行目4列目)の \(1\) を \(3\) に入れ換えて[1]の手順とした。
基本変形3 任意の列の定数倍(\(\scriptsize{\neq 0}\))[\(R\) 右基本変形]
k・〇列目\(\rightarrow E\) の〇行目〇列目を変換
\(\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & 3d \\ e & f & g & 3h \\ i & j & k & 3l \\ m & n & o & 3p \\ \end{array}~\right]\) \(\overset{R}{\leftarrow}\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \end{array}~\right]\)
[1]
\(E(=)\left[~\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \boxed{1}~\end{array}~\right] \) \(\hspace{20pt}\) \(\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & 3d \\ e & f & g & 3h \\ i & j & k & 3l \\ m & n & o & 3p \end{array}~\right]\) \(~=~\left[~\begin{array}{cccc} \hline a & b & c & d \\ \hline e & f & g & h \\ \hline i & j & k & l \\ \hline m & n & o & p \\ \hline \end{array}~\right]\)
\(\times\) \(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \end{array}~\right] \)
[2]
[1]は \(R\:(\small\textsf{右基本変形})\) により、行列の4列目の成分を5倍する変形である。
[2]では対象の行列と同行同列の単位行列\(E\)から、4行目4列目の \(1\) を \(3\) に入れ換えて[1]の手順とした。
左右の基本変形が同一の単位行列の変形をとるのは、行列の積が非可換だからである。
基本変形5 一意の行に任意の行を定数倍(\(\scriptsize{\neq 0}\))して加算する[\(L\) 左基本変形]
〇行目 + k・△行目\(\rightarrow E\) の〇行目△列目をkに変換
\( \left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \end{array}~\right]\) \(\overset{L}{\rightarrow}\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e+5i & f+5j & g+5k & h+5l \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \end{array}~\right]\)
[1]
\(E(=)\left[~\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \boxed{0} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1~\end{array}~\right] \) \(\hspace{20pt}\) \(\left[~\begin{array}{cccc} \hline 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 0 & 1 & 5 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 \\ \hline\end{array}~\right] \) \(\times\) \(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|} a & b & c & d \\e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \end{array}~\right]\)
\(~=~\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e+5i & f+5j & g+5k & h+5l \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \end{array}~\right]\)
[2]
[1]は \(L\:(\small\textsf{左基本変形})\) により、行列の2行目の成分に3行目の成分を5倍して加算する変形である。
[2]では対象の行列と同行同列の単位行列\(E\)から、2行目3列目の \(0\) を \(5\) に入れ換えて[1]の手順とした。
基本変形6 一意の列に任意の列を定数倍(\(\scriptsize{\neq 0}\))して加算する[\(R\) 右基本変形]
〇列目 + k・△列目\(\rightarrow E\) の〇列目△行目を変換
\(\left[~\begin{array}{cccc} a & b+5c & c & d \\ e & f+5g & g & h \\ i & j+5k & k & l \\ m & n+5o & o & p \\ \end{array}~\right]\) \(\overset{R}{\leftarrow}\left[~\begin{array}{cccc} a & b & c & d \\ e & f & g & h \\ i & j & k & l \\ m & n & o & p \\ \end{array}~\right]\)
[1]
\(E(=)\left[~\begin{array}{cccc}1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \boxed{0} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1~\end{array}~\right] \) \(\hspace{20pt}\) \(\left[~\begin{array}{cccc} a & b+5c & c & d \\ e & f+5g & g & h \\ i & j+5k & k & l \\ m & n+5o & o & p \end{array}~\right]\) \(~=~\left[~\begin{array}{cccc} \hline a & b & c & d \\ \hline e & f & g & h \\ \hline i & j & k & l \\ \hline m & n & o & p \\ \hline \end{array}~\right]\)
\(\times\) \(\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}~\right] \)
[2]
[1]は \(R\:(\small\textsf{右基本変形})\) により、行列の2列目の成分に3列目の成分を5倍して加算する変形である。
[2]では対象の行列と同行同列の単位行列\(E\)から、2列目3行目の \(0\) を \(5\) に入れ換えて[1]の手順とした。