確率の定義
\(\textsf{確率とは、確率分布$(\textsf{確率関数})$の、ある予測される事象の値をいう。}\)
\(\begin{array}{l}\textsf{確率分布の表記 }\hspace{10pt}{\large P}{\small (X)}{\color{gray}{\small\,=\,}P},\hspace{10pt}{\large P}{\small (x)}{\color{gray}{\small\,=\,}p}\,\textsf{または}\,{\large P}{\small (X=x)}{\color{gray}{\small\,=\,}p}\hspace{20pt}\textsf{これを ${\small X},\,x$ の確率 といい、${\small X},\,x$ は $\class{Boldfont}{\textsf{確率変数}}$ を表す。} \\ \hspace{400pt}\left\{\small\textsf{ここでは確率の値を$P,\,p$と表記する。}\right\}\end{array}\)
\(\textsf{確率の値}\left\{\begin{array}{l}\textsf{$P$ の条件}\hspace{10pt}{\large P}{\small (X)}{\color{gray}{\small\,=\,}P}{\small\,=\,}1 \\[5pt] \textsf{$p$ の条件}\left\{\begin{array}{l}0\:{\scriptsize\leqq}\:p \:{\scriptsize\leqq} \:1 \hspace{40pt}\left\{\small\textsf{確率変数 $X{\scriptsize\,\ni\,}{x}$ の取りうる確率 $P({x})$ の値の範囲$(\scriptsize\textsf{$\ni$ の記号は、確率変数$X$の集合の中の一つの要素である確率変数$x$を意味する記号})$。}\right\} \\ p{\tiny 1}{\scriptsize\,+\,}p{\tiny 2}{\scriptsize\,+\,}p{\tiny 3}{\scriptsize\,+\,}\cdots{\scriptsize\,+\,}p{\tiny n}{\scriptsize\,=\,}1 \hspace{30pt}\{\small\textsf{確率変数 $X{\scriptsize\,=\,}({x \tiny 1},\,{x \tiny 2},\,{x \tiny 3},\,\cdots,\,{x \tiny n})$ の取りうるすべての確率 $P{\scriptsize(X)}$ の値の和。}\}\end{array}\right.\end{array}\right.\)
確率変数
\(\begin{array}{l}{\color{gray}{\textsf{[実例]}}} \\[10pt] \textsf{一つのサイコロを投げたときの出目を $X$ とする。} \\ \hspace{10pt}\textsf{$X$ は $1$ から $6$ までの数のどれかであり、どの数をとっても確率の値は 均一に $\scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}$ となる。この $X(1, \,2,\, 3,\, 4,\,5,\,6)$ が 確率変数 である。} \\ \hspace{10pt}P{\scriptsize(1)}{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}},\,P{{\scriptsize(2)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}},\,P{{\scriptsize(3)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}},\,P{{\scriptsize(4)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}},\,P{{\scriptsize(5)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}},\,P{{\scriptsize(6)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}} \\[3pt] \textsf{二つのサイコロ $A,\,B$ を投げたときの出目の和を $X$ とする。} \\ \hspace{10pt}\textsf{$X$ は $2$ から $12$ までの数のどれかであり、どの数をとっても確率の値は 均一に $\scriptsize\displaystyle\frac{1}{36}(\textsf{サイコロが二つなので $\scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}{\small\times} \scriptsize\displaystyle\frac{1}{6}$})$ となる。} \\ \hspace{10pt}\textsf{この $X(2, \,3,\, 4,\, 5,\,6,\,7,\,8,\,9,\,10,\,11,\,12)$ が 確率変数 である。} \\ \hspace{10pt}P{\scriptsize(2)}{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{36}},\,P{{\scriptsize(3)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{2}{36}},\,P{{\scriptsize(4)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{3}{36}},\,P{{\scriptsize(5)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{4}{36}},\,P{{\scriptsize(6)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{5}{36}},\,P{{\scriptsize(7)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{6}{36}},\,P{\scriptsize(8)}{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{5}{36}},\,P{{\scriptsize(9)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{4}{36}},\,P{{\scriptsize(10)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{3}{36}},\,P{{\scriptsize(11)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{2}{36}},\,P{{\scriptsize(12)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{36}} \\[10pt] \hspace{100pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{あれぇ$?$ 値がバラバラだぞぉ$!$ と思われるだろう。} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{例えば $P{{\scriptsize(3)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{2}{36}}$ の場合、出目が $A{\scriptsize\,=\,}1,\,B{\scriptsize\,=\,}2$ と、 $A{\scriptsize\,=\,}2,\,B{\scriptsize\,=\,}1$ の$2$通りがあり、} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{それぞれの確率の値の和$(\textsf{確率の加法定理 $\small P{\scriptsize(A\, \cup\,B)}{\scriptsize\,=\,}P{\scriptsize(A)}{\scriptsize \,+\,}P{\scriptsize(B)}$})$ で $\scriptsize\displaystyle\frac{1}{36}{\small\,+\,} \scriptsize\displaystyle\frac{1}{36}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{2}{36}$ となる。} \\ \small\textsf{いずれにせよ、これは確率の値の課題であり、確率変数は $\scriptsize\displaystyle\frac{1}{36}$ で均一である。}\end{array}\right\}\end{array}\)
離散型確率分布
\(\begin{array}{l}\textsf{離散型の確率は事象$(\small\textsf{試行によって起こり得る結果})$による確率である。} \\ \hspace{10pt}\textsf{加算$(\small\textsf{自然数})$個の確率質量$(\textsf{これが確率変数})$の和で表される。} \\ \hspace{10pt}\textsf{確率変数 $X$ は $X{\small\,=\,}$実数 の離散型確率変数 で、離散型確率分布 に従う。取り得る$(\textsf{確率の})$実数値はすべて列挙できるので、連続性はない。}\end{array}\)
連続型確率分布
\(\begin{array}{l}\textsf{連続型の確率は一意の区間内$(\small\textsf{ある実数$a$から実数$b$の間})$による確率である。} \\ \hspace{10pt}\textsf{非加算個の確率密度で表される。} \\ \hspace{10pt}\textsf{確率変数 $X$ は $X{\small\,=\,}0$ で、$(a\:{\small\leqq}\:X\:{\small\leqq}\:b)$ の連続型確率変数 で、連続型確率分布 に従う。取り得る$(\textsf{確率の})$値は実数値で、連続性がある。}\end{array}\)
複数(多次元)の確率変数をもつ確率
\(\textsf{$3$っつの確率変数をもつ確率を例とする。}\)
同時確率
\(\textsf{同時確率の表記}\hspace{10pt}P{\small(X,Y,Z)}\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}\textsf{同時確率関数の表記}\hspace{10pt}{\large f}_{\scriptsize X,\,Y,\,Z}{\small(x,\,y,\,z)}\)
\(\begin{array}{l}{\color{gray}{\textsf{[事例]}}} \\ \textsf{３つのサイコロ $X$、$Y$、$Z$ を同時に投げるという試行から、それぞれの出目$x,\,y,\,z$ を得られた事象とし、} \\ \hspace{10pt}\textsf{それらの$\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/permutation-combination/#組み合わせ}{\textsf{組み合わせ}}$$(\small\textsf{３つのサイコロの出目})$を試行結果とする確率。}\end{array}\)
条件付き確率
\(\textsf{条件付き確率の表記}\hspace{10pt}P{\small(X,Y|Z)}\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}\textsf{条件付き確率関数の表記}\hspace{10pt}{\large f}_{\scriptsize X,\,Y}{\small(x,\,y)} \hspace{45pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{確率変数 $z$ の値は決まっているもの$(\scriptsize\textsf{これが 条件付き の所以})$と、} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{するので、$z$ 抜きの同時確率となる。} \\ \small\textsf{確率変数 $y,\,z$ の値が決まっているのなら、} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{確率関数は $\scriptsize {P{\tiny(X,|Y,Z)}\hspace{5pt}{\scriptsize\Rightarrow}\hspace{5pt}{f}_{\tiny X}{\tiny(x)}}$の 周辺確率 となる。}\end{array}\right\}\)
\(\begin{array}{l}{\color{gray}{\textsf{[事例]}}} \\ \textsf{３つのサイコロ $X$、$Y$、$Z$ を同時に投げるという試行から、$z{\small\,=\,}1$ とした場合、$2$つの出目$x,\,y$ を得られた事象$(\textsf{確率変数})$とし、} \\ \hspace{10pt}\textsf{それらの組み合わせ$(\small\textsf{$2$つのサイコロの出目})$を試行結果とする確率。}\end{array}\)
確率の乗法定理とベイズの定理
\(\begin{array}{l}{\class{Boldfont}{\textsf{確率の乗法定理}}}(\textsf{同時確率と条件付き確率の関係式}) \\[15pt] \hspace{90pt}P{\small(X,Y)}{\small\,=\,}P{\small(X|Y)}P{\small(Y)}{\small\,=\,}P{\small(Y|X)}P{\small(X)} \\[-20pt] \hspace{280pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{確率関数$X,Y$が互いに独立した事象の場合の関係式は$\hspace{5pt}P{\scriptsize(X,Y)}{\scriptsize\,=\,}P{\scriptsize(X)}P{\scriptsize(Y)}\,$} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{${\color{gray}{\textsf{事例}}}$として$X$カード$4$枚、$Y$カード$5$枚ある場合、$1$回目に$X$カードを引い} \\ \small\textsf{ て $\color{red}\underline{{\color{black}\textsf{元にもどし}}}$ 、$2$回目に$9$枚の中から$Y$カードを引く確率は $\scriptsize\displaystyle\frac{4}{9} \times \scriptsize\displaystyle\frac{5}{9}$ }\\[10pt] \small\textsf{$3$確率変数の乗法定理は} \\ \hspace{10pt}\small P{\scriptsize(X,Y,Z)}{\scriptsize\,=\,}P{\scriptsize(X|Y,Z)}P{\scriptsize(Y,Z)}{\scriptsize\,=\,}P{\scriptsize(X|Y,Z)}P{\scriptsize(Y|Z)}P{\scriptsize(Z)}\end{array}\right\} \\[20pt]\class{Boldfont}{\textsf{ベイズの定理}} \\[10pt]\hspace{90pt}P{\small(X|Y)}{\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{P{\scriptsize(Y|X)}P{\scriptsize(X)}}{P{\scriptsize(Y)}}} \\[-30pt] \hspace{230pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{$3$確率変数の確率をベイズの定理に当てはめると} \\[3pt] \hspace{10pt}\small\textsf{$P{\scriptsize(X,Y|Z)}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize{\displaystyle\frac{P{\tiny(X,Y,Z)}}{P{\tiny(Z)}}}{\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{P{\tiny(X|Y,Z)}P{\tiny(Y,Z)}}{P{\tiny(Z)}}{\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{P{\tiny(X|Y,Z)}P{\tiny(Y|Z)}P{\tiny(Z)}}{P{\tiny(Z)}}{\scriptsize\,=\,}\small P{\scriptsize(X|Y,Z)}P{\scriptsize(Y|Z)}$} \\[10pt]\small\textsf{ベイズの定理の解説}\\[3pt]\hspace{10pt} \small\textsf{$P{\scriptsize(X|Y)}{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{P{\tiny(Y|X)}P{\tiny(X)}}{P{\tiny(Y)}}}\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}P{\scriptsize(X|Y)}{\scriptsize\,=\,}P{\scriptsize(X)}\times {\scriptsize\displaystyle\frac{{\color{black}P{\tiny(Y|X)}}}{P{\tiny(Y)}}}\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}\textsf{事後確率}{\scriptsize\,=\,}\textsf{事前確率} \times \scriptsize\displaystyle\frac{\textsf{尤度}(\textsf{ゆうど})}{\small\textsf{正規化}}$}\\[5pt]\hspace{10pt}\small\textsf{事後確率とは一見意味不明なフレーズだが、「$X$という事が起こった後の$Y$が起こる確率」と解釈すればいいだろう。} \\ \hspace{20pt}\small\textsf{要はここでいう条件付き確率のことである。}\end{array}\right\} \end{array}\)