線形変換
$$\textsf{線形変換(写像)}\left\{\begin{array}{l}\textsf{の$\class{Boldfont}{\textsf{線形}}$とは、任意の変数$x,\:y$、定数$k$において、$\left\{\begin{array}{l}f{\scriptsize(x+y)}=f{\scriptsize(x)}+f{\scriptsize(y)} \\ f{\scriptsize(kx)}=kf{\scriptsize(x)}\end{array}\right\}$の2式が成り立つ直線をいう。} \\[10pt] \textsf{の$\class{Boldfont}{\textsf{写像}}$とは、ベクトルと行列の積において、$\underline{\,\textsf{積算する側の行列}\,}$をいう。} \\ \:\textsf{幾何, 解析でいうところの $\class{Boldfont}{\textsf{関数}}\,y=f{\scriptsize(x)}$。写像は $f:x\rightarrow y$ と表記される。}\end{array}\right.$$
$$\begin{array}{l}\textsf{以上から、線形写像 とは $\underline{\textsf{行列によって 線形空間 を 別の線形空間($\small\textsf{変換前の直線を保った空間}$)に変形すること}}$ である。} \\ \textsf{行列式 は線形写像によって拡大(または縮小)された空間の倍率を算出する式となる。}\end{array}$$
基底
$$\textsf{基底は行列式の基本となる。}$$
置換
\(\begin{array}{l}\textsf{同じ二組の自然数の集合をそれぞれ上下に配列して$\alpha, \beta$とした場合$\left(\begin{array}{l}\alpha{\,\scriptsize =\,}{1,2,3,\cdots,n} \\ \beta{\,\scriptsize =\,}{1,2,3,\cdots,n}\end{array}\right)$、} \\[10pt] \hspace{10pt}\textsf{$\alpha$のすべての元(要素)が$\beta$のすべての元と一対一(全単射)となる写像を 置換 という。}\end{array}\)
置換の表記
\(\textsf{①}\:{\Large{\epsilon}}\hspace{10pt}={\color{darkgray}\left(\begin{array}{l}1&2&3&4&5&6 \\ 1&2&3&4&5&6\end{array}\right)}=1\)
\(\begin{array}{l}\textsf{②}\:{\Large\sigma}=\begin{pmatrix}{\color{blue}{1}}&{\color{blue}{2}}&{\color{blue}{3}}&{\color{blue}{4}}&{\color{blue}{5}}&{\color{darkgray}6} \\ 5&3&4&1&2&{\color{darkgray}6}\end{pmatrix}\hspace{10pt}=\hspace{10pt}\begin{pmatrix}{\color{blue}{1}}&{\color{blue}{2}}&{\color{blue}{3}}&{\color{blue}{4}}&{\color{blue}{5}} \\ 5&3&4&1&2\end{pmatrix}\hspace{10pt}=\hspace{10pt}\underline{\begin{pmatrix}{\color{blue}{3}}&{\color{blue}{4}}&{\color{blue}{1}}&{\color{blue}{5}}&{\color{blue}{2}} \\ 4&1&5&2&3\end{pmatrix}}\Rightarrow(1\:\:5\:\:2\:\:3\:\:4) \\[10pt]\hspace{50pt}{\Large\sigma}^{\,\tiny -\,1}\,=\begin{pmatrix}3&1&5&4&2 \\ {\color{blue}{2}}&{\color{blue}{4}}&{\color{blue}{1}}&{\color{blue}{3}}&{\color{blue}{5}}\end{pmatrix}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\textsf{①}\:\textsf{上下同元の全単射からなる像を恒等置換といい、$\large\epsilon$
$\small\textsf{(イプシロン)}$で表す。とりあえず、これを$1$と定義しておこう。} \\ \textsf{②}\:\textsf{一般的な置換は$\large\sigma{\normalsize(\small\textsf{シグマ})}$などのギリシャ文字で表記する。} \\ \textsf{上記の置換$\large\sigma$のそれぞれに対応する元は}{\large\sigma}({\color{blue}{1}})=5,\,{\large\sigma}({\color{blue}{2}})=3,\,{\large\sigma}({\color{blue}{3}})=5,\,{\large\sigma}({\color{blue}{4}})=1,\,{\large\sigma}({\color{blue}{5}})=2,\,{\color{darkgray}{\large\sigma}}({\color{darkgray}6})={\color{darkgray}6}\textsf{と表す。$6$は同元なので$0$として省略。} \\ \textsf{対応する元の順番は問はないが、昇順に整理しておいたほうが無難であろう。} \\ \textsf{置換$\large\sigma$を一巡表記すると$(1\:\:5\:\:2\:\:3\:\:4)$となる。}\rightarrow\textsf{${\color{blue}{1}}$は$5$に対応し、${\color{blue}{5}}$は$2$に対応し、${\color{blue}{2}}$は$3$に対応し、${\color{blue}{3}}$は$4$に対応し、} \\ \hspace{10pt}\textsf{${\color{blue}{4}}$は$1$に対応するので一巡。} \\ \textsf{置換$\large\sigma$の逆写像は逆置換となり、$\large\sigma^{\,\tiny -\,1}$と表記する。}\rightarrow\textsf{アンダーラインの置換を参照して、$1$は${\color{blue}{4}}$に対応し、$4$は${\color{blue}{3}}$に対応し、$3$は${\color{blue}{2}}$に対応し、} \\ \hspace{10pt}\textsf{$2$は${\color{blue}{5}}$に対応し、$5$は${\color{blue}{1}}$に対応する。この一巡表記はお分かりのことでしょう。}\end{array}\)
置換の積
\({\Large\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5 \\ 5&3&4&1&2\end{pmatrix}\hspace{20pt}\times\hspace{20pt}{\Large\tau}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5 \\ 5&4&1&3&2\end{pmatrix}\hspace{20pt}=\hspace{20pt}{\Large\sigma\tau}=\begin{pmatrix}1&2&3&5 \\ 2&1&5&3\end{pmatrix}\)
\(\begin{array}{l}\textsf{上記 置換$\large\sigma$、$\tau$の積の写像は}{\large\sigma}(\tau (1))=2,\hspace{5pt}{\large\sigma}(\tau (2))=1,\hspace{5pt}{\large\sigma}(\tau (3))=5,
\hspace{5pt}{\color{lightgray}{\large\sigma}(\tau (4))=4},\hspace{5pt}{\large\sigma}(\tau (5))=3\textsf{で表す。}\rightarrow\textsf{$\tau$の$1$の写像$5$は$\large\sigma$の$2$、} \\ \hspace{10pt}\textsf{$\tau$の$2$の写像$4$は$\large\sigma$の$1$、$\tau$の$3$の写像$1$は$\large\sigma$の$5$、$\tau$の$4$の写像$3$は$\large\sigma$の$4$で省略。$\tau$の$5$の写像$2$は$\large\sigma$の$3$。}\end{array}\) 写像の表記から解るように、\({\large\sigma}\,\times\,\tau\,\neq\,\tau\,\times\,{\large\sigma}\) で、置換の積は後の項から変換していく。ただし恒等置換\(\large\epsilon\)、逆置換\(\large\sigma^{\,\tiny -\,1}\)との交換法則は成り立つ。
巡回置換
\(\begin{array}{l}\textsf{巡回置換というと置換の種類と惑わされがちだが、実質、単位置換$\large\epsilon$以外の置換はすべて巡回置換である、といえる。巡回置換はその表記が課題となる。}\end{array}\)
\({\large\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&3&2&4\end{pmatrix}\Rightarrow(1\:\:6\:\:4\:\:3\:\:{\color{lightgray}1})\textsf{で一巡。}\,(2\:\:5\:\:{\color{lightgray}2})\textsf{で一巡。}\)
\(\begin{array}{l}\textsf{上記の置換$\large\sigma$は$(1\:\:6\:\:4\:\:3)$と$(2\:\:5)$の巡回置換で成り立っている。巡回置換を表す一巡表記は前項$\,\bbox[lightgray, 3pt, border-radius: 3px]{\scriptsize\color{dimgray}\textsf{$\hspace{50pt}$置換の表記}_\,\hspace{50pt}}$で述べた。}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\textsf{巡回置換$(1\:\:6\:\:4\:\:3)$は$\begin{pmatrix}1&\color{lightgray}2&3&4&\color{lightgray}5&6 \\ 6&\color{lightgray}2&1&3&\color{lightgray}5&4\end{pmatrix}$、巡回置換$(2\:\:5)$は$\begin{pmatrix}\color{lightgray}1&2&\color{lightgray}3&\color{lightgray}4&5&\color{lightgray}6 \\ \color{lightgray}1&5&\color{lightgray}3&\color{lightgray}4&2&\color{lightgray}6\end{pmatrix}$であることはお分かりでしょう。} \\[5pt]\hspace{10pt}\textsf{これを試しに$\,\bbox[lightgray, 3pt, border-radius: 3px]{\scriptsize\color{dimgray}\textsf{$\hspace{50pt}$置換の積}_\,\hspace{50pt}}$に変換すると、$1\mapsto6,2\mapsto5,3\mapsto1,4\mapsto3,5\mapsto2,6\mapsto4$で置換$\large\sigma$となる。} \\[5pt]\hspace{10pt}\textsf{したがって、${\large\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&3&2&4\end{pmatrix}=(1\:\:3\:\:4\:\:6){\color{lightgray}\times}(2\:\:5)$}\end{array}\)
互換
\(\begin{array}{l}\textsf{互換とは、二組の元の写像からなる巡回置換をいう。} \\[15pt]\hspace{10pt}\textsf{${\large\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&3&2&4\end{pmatrix}=(1\:\:3\:\:4\:\:6)(2\:\:5)=(1\:\:6)(1\:\:4)(1\:\:3)(2\:\:5)\hspace{5pt}$置換$\large\sigma$の巡回置換$(1\:\:3\:\:4\:\:6)$を互換$(1\:\:6)(1\:\:4)(1\:\:3)$に変換した。} \\[5pt]\textsf{$(2\:\:5)$はもとより互換である。}\end{array}\)
\(\begin{cases}\scriptsize\left\{{\color{gray}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 1&2&3&4&5&6\end{pmatrix}}(1\hspace{6pt}6)\hspace{5pt}\rightarrow\right\}\hspace{5pt}{\color{gray}
{\begin{pmatrix}{\color{black}6}&2&3&4&5&{\color{black}1} \\ {\color{black}1}&2&3&4&5&{\color{black}6}\end{pmatrix}}}\\[5pt] \hspace{30pt}\scriptsize\times\left\{{\color{gray}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 1&2&3&4&5&6\end{pmatrix}}(1\hspace{6pt}4)\hspace{5pt}\rightarrow\right\}\hspace{5pt}{\color{gray}
{\begin{pmatrix}{\color{black}1}&2&3&{\color{black}4}&5&6 \\ {\color{black}4}&2&3&{\color{black}1}&5&6\end{pmatrix}}} \\[5pt] \hspace{60pt}\scriptsize\times\left\{{\color{gray}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 1&2&3&4&5&6\end{pmatrix}}(1\hspace{6pt}3)\hspace{5pt}\rightarrow\right\}\hspace{5pt}{\color{gray}\begin{pmatrix}{\color{black}1}&2&{\color{black}3}&4&5&6 \\ {\color{black}3}&2&{\color{black}1}&4&5&6\end{pmatrix}} \\[5pt] \hspace{90pt}\scriptsize\times\left\{{\color{gray}\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 1&2&3&4&5&6\end{pmatrix}}(2\hspace{6pt}5)\hspace{5pt}\rightarrow\right\}\hspace{5pt}{\color{gray}
{\begin{pmatrix}1&{\color{black}2}&3&4&{\color{black}5}&6 \\ 1&{\color{black}5}&3&4&{\color{black}2}&6\end{pmatrix}}}\end{cases}\hspace{10pt}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&3&2&4\end{pmatrix}\)
すべての巡回置換が互換、または互換の積に変換できる、ということである。なお同じ互換の積は恒等置換\(\large\epsilon\)になる。
置換の符号
\(\begin{array}{l}\textsf{置換の符号はその巡回置換に存在する互換の個数が偶数($2n$)か奇数($2n+1$)かにより正負を定義する。} \\[10pt]\textsf{$sgn(\sigma)\begin{cases}-1^{\scriptsize 2n}\hspace{10pt}(=+1)\,(\textsf{存在する互換の個数が偶数})\\ -1^{\scriptsize 2n+1}(=-1)\,(\textsf{存在する互換の個数が奇数})\end{cases}{\large\sigma}=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6 \\ 6&5&1&3&2&4\end{pmatrix}=(1\:\:6)(1\:\:4)(1\:\:3)(2\:\:5)\hspace{30pt}\rightarrow\,sgn(\large\sigma)\small =-1^{\scriptsize 4}\,=+1$}\end{array}\)