関数について

逆関数

多変数関数

$$\begin{array}{l}\mathsf{\text{・ある関数}}z=f(x,y)\mathsf{\text{あるいは}}w=f(x,y,z)\mathsf{\text{ や、それ以上の }}\mathsf{\text{独立変数}}\mathsf{\text{ (}}f()\mathsf{\text{内の変数}}\mathsf{\text{) を囲む関数を }}\mathsf{\text{多変数関数}}\mathsf{\text{ という。}}\\ \mathsf{\text{・左辺の}}z,w\mathsf{\text{を }}\mathsf{\text{従属変数}}\mathsf{\text{という。}}\\ \mathsf{\text{・独立変数のとりうる値の範囲を }}\mathsf{\text{定義域}}\mathsf{\text{ といい、それに従属して従属変数 がとる値を }}\mathsf{\text{値域}}\mathsf{\text{ という。}}\end{array}$$

$2$変数関数の偏微分

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{まずは }}\mathsf{\text{偏微分}}\mathsf{\text{の定義 から、}}\\ 2\mathsf{\text{変数関数 }}f(x,y)\mathsf{\text{ の }}x,y\mathsf{\text{座標上の点 }}(a,b)\mathsf{\text{ に 極限値 }}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(a+h,b)-f(a,b)}{h}}\mathsf{\text{ があれば、関数}}f(x,y)\mathsf{\text{ は }}(x,y)=(a,b)\mathsf{\text{ であり }}x\mathsf{\text{ で}}\mathsf{\text{偏微分可能}}\mathsf{\text{ である。}}\\ \mathsf{\text{また、この極限値を }}x\mathsf{\text{の}}\mathsf{\text{偏微分係数}}\mathsf{\text{ という。}}\\ \mathsf{\text{同様に、}}y\mathsf{\text{ での偏微分の定義は }}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}}\mathsf{\text{ である。}}\end{array}$

$$\mathsf{\text{例題}}1$$

$f(x,y)={\displaystyle \frac{x}{2x+3y}}\mathsf{\text{ を }}x\mathsf{\text{、}}y\mathsf{\text{ で偏微分してみる。}}{\displaystyle \frac{\partial }{\partial x}}f(x,y)\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2x+3y}}\\ ={\displaystyle \frac{x_x(2x+3y)-x(2x+3y{)}_x}{(2x+3y{)}^2}}\{\mathsf{\text{商の微分公式 }}{\left\{{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\right\}}^{\prime }={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}}\mathsf{\text{ 参照。}}\}\\ ={\displaystyle \frac{1\cdot (2x+3y)-x(2\cdot 1+0)}{(2x+3y{)}^2}}\\ ={\displaystyle \frac{3y}{(2x+3y{)}^2}}\end{array}$

${\displaystyle \frac{\partial }{\partial y}}f(x,y)\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{x}{2x+3y}}\\ ={\displaystyle \frac{x\cdot 1}{2x+3y}}\\ =-{\displaystyle \frac{x(2x+3y{)}_y}{(2x+3y{)}^2}}\left\{\begin{array}{c}y\mathsf{\text{で微分するので分子の}}x\mathsf{\text{は係数となり、関数とはならない。}}\\ \mathsf{\text{したがって }}\mathsf{\text{逆数の微分公式}}\mathsf{\text{ を使う。}}\end{array}\right\}\\ ={\displaystyle \frac{3x}{(2x+3y{)}^2}}\end{array}$

合成関数

合成関数は引数に関数をとる関数をいう。

 ここでいう引数とは、関数$f(x)$でいうところの$()$内の変数$x$にあたる。 変数$x$の代わりに下記に示す関数$f$の$()$内の関数$g(x)$または合成関数$g(h(x))$をいう。

合成関数のイメージ

$\begin{array}{l}y=f(g(x))\Rightarrow y=f(u),u=g(x)\mathsf{\text{と置き換えるとわかりやすい。}}\\ \mathsf{\text{3層構造の合成関数}}y=f(g(h(x)))\Rightarrow y=f(u),u=g(v),v=h(x)\mathsf{\text{と置き換えてみる。}}\\ \{\mathsf{\text{以降、4層以上の合成関数も同様のイメージ。}}\}\\ \mathsf{\text{[事例]}}\\ f(g(h(x)))=\sqrt[m]{a{x}^2+b}\to f(u)=\sqrt[m]{\mathit{u}},g(\mathit{v})=a\mathit{v}+b,h(x)=x^2\end{array}$

合成関数の微分(連鎖率)

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{合成関数の微分の手順}}\{\begin{array}{c}y{}^{\prime }=\{f(g(x)){\}}^{\prime }\Rightarrow u=g(x)\mathsf{\text{と置く}},y{}^{\prime }=\{f(u){\}}^{\prime }={\displaystyle \frac{dy}{dx}={\displaystyle \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}}}\\ y{}^{\prime }=\{f(g(h(x))){\}}^{\prime }\Rightarrow u=g(v)\mathsf{\text{と置く}},v=h(x)\mathsf{\text{と置く}},\\ y{}^{\prime }=\{f(g(v)){\}}^{\prime }={\displaystyle \frac{dy}{dx}={\displaystyle \frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}}}\end{array}\\ \left\{\begin{array}{c}\underset{―}{\underset{―}{\mathsf{\text{これは 合成関数の微分の定義 である。}}}}\\ \mathsf{\text{以降、4層以上の合成関数の微分も同様の手順。}}\end{array}\right\}\\ \mathsf{\text{合成関数の微分公式}}\{\begin{array}{c}\{f(g(x)){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\times g{}^{\prime }(x)\\ \{f(g(h(x))){\}}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\times g{}^{\prime }(h(x))\times h^{{}^{\prime }}(x)\end{array}\\ \{\mathsf{\text{以降、4層以上の合成関数の微分公式は言うまでもない。}}\}\\ \mathsf{\text{[事例]}}{\left\{log|f(x)|\right\}}^{\prime }\{\begin{array}{c}={\displaystyle \frac{1}{f(x)}}\times f^{\prime }(x)\left\{\mathsf{\text{対数の微分の証明}}(logex{)}^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{x}}\mathsf{\text{ を参照。}}\right\}\\ ={\displaystyle \frac{f{(x)}^{\prime }}{f(x)}}\end{array}\end{array}$

合成関数の微分公式の証明

$$\{f(g(x)){\}}^{\prime }\left\{\begin{array}{l}\mathsf{\text{微分の定義式}}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\mathsf{\text{ から、}}\\ {\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}}\\ ={\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\times {\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\{\mathsf{\text{合成関数の微分の手順}}{\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dx}\frac{du}{dx}}\mathsf{\text{を踏まえる。}}\}}}\\ ={\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\times g{}^{\prime }(x)\{{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\mathsf{\text{は}}g(x)\mathsf{\text{の微分の定義式。}}\}}}\\ ={\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{t\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u+t)-f(u)}{t}\times g{}^{\prime }(x)\left\{\begin{array}{c}g(x)\mathsf{\text{を}}u,g(x+h)-g(x)\mathsf{\text{を}}t\mathsf{\text{と置くと、}}g(x+h)\mathsf{\text{は}}u+t\mathsf{\text{となる。}}\\ {\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{t\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u+t)-f(u)}{t}\mathsf{\text{は}}f(u)\mathsf{\text{の微分の定義式。}}}\end{array}\right\}}\end{array}\right\}=f^{\prime }(g(x))\times g{}^{\prime }(x)$$

積と商(分母分子が関数の分数)の微分公式とその証明

$$\mathsf{\text{ 積の微分公式 }}\{f(x)g(x){\}}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$$

$$\mathsf{\text{商の微分公式}}{\left\{{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\right\}}^{\prime }={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}}$$ $$\mathsf{\text{[証明]}}$$

$$\{\begin{array}{l}\mathsf{\text{微分の定義式}}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}}\mathsf{\text{ から、先ずは、商の微分公式の証明に繋がる }}\mathsf{\text{積の微分公式}}\mathsf{\text{ の証明から始めよう。}}\\ \{f(x)g(x){\}}^{\prime }={\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}\\ \mathsf{\text{さてと、ここからどうもっていこうか }}?\mathsf{\text{ 証明の過程では}}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+\{g(x+h)-g(x)\}f(x)}{h}}\mathsf{\text{の式変形が望ましい。}}\\ \mathsf{\text{そこで、分子に }}0\mathsf{\text{ を減算する。}}\to \{f(x)g(x){\}}^{\prime }={\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(x+h)g(x+h)-\{\stackrel{0}{\overbrace{f(x)g(x+h)-f^{}(x)g(x+h)}}\}-f(x)g(x)}{h}}\\ ={\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{\left(f(x+h)-f(x)\right)g(x+h)+(g(x+h)-g(x))f(x)}{h}\{\mathsf{\text{分子は因数分解で整理する。}}\}}\\ ={\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}{h}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}g(x+h)+{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{g(x+h)g(x)}{h}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}f(x)}}\\ =f^{\prime }(x)g(x)+g^{\prime }(x)f(x)=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)\{\mathsf{\text{積の微分公式の証明ができたので、以降は商の微分公式の証明となる。}}\}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}{\left\{{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}\right\}}^{\prime }={\left\{f(x){\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}}^{\prime }=f^{\prime }(x){\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}}^{\prime }\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}+f(x){\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}}^{\prime }\{\mathsf{\text{積の微分公式を使う。}}\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}+f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}+f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{1}{h}\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x+h)}-{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}}\right\}}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}+f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{1}{h}\left\{{\displaystyle \frac{g(x)}{g(x+h)g(x)}-{\displaystyle \frac{g(x+h)}{g(x+h)g(x)}}}\right\}}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}+f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{1}{h}\left\{-{\displaystyle \frac{g(x+h)+g(x)}{g(x+h)g(x)}}\right\}}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}-f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{1}{h}{\displaystyle \frac{g(x+h)+g(x)}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}+f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{g(x+h)g(x)}{h}-{\displaystyle \frac{1}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}-f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{1}{h}{\displaystyle \frac{g(x+h)+g(x)}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}+f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{g(x+h)g(x)}{h}-{\displaystyle \frac{1}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}-f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{1}{h}{\displaystyle \frac{g(x+h)+g(x)}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}+f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{g(x+h)g(x)}{h}-{\displaystyle \frac{1}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}-f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{1}{h}{\displaystyle \frac{g(x+h)+g(x)}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}-f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{g(x+h)g(x)}{h}{\displaystyle \frac{1}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\end{array}$$

$$\{\begin{array}{l}=f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}-f(x){\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}\left\{{\displaystyle \frac{g(x+h)g(x)}{h}{\displaystyle \frac{1}{g(x+h)g(x)}}}\right\}\mathsf{\text{から、}}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}-f(x)\left\{{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{g(x+h)g(x)}{h}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{1}{g(x+h)}{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x)\left\{{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}\right\}-f(x)\left\{g{(x)}^{\prime }{\displaystyle \frac{1}{g(x)}{\displaystyle \frac{1}{g(x)}}}\right\}\\ =f^{\prime }(x){\displaystyle \frac{1}{g(x)}{\displaystyle \frac{g(x)}{g(x)}-f(x){\displaystyle \frac{g(x)}{{\left\{g(x)\right\}}^2}={\displaystyle \frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{\{g(x){\}}^2}}}}}\end{array}$$

$\mathsf{\text{合成関数の微分のことを}}\mathsf{\text{連鎖率}}\mathsf{\text{という。}}$

合成関数の偏微分

$\mathsf{\text{前述した}}\mathsf{\text{合成関数の微分}}\mathsf{\text{は}}\underset{―}{1\mathsf{\text{変数関数の合成関数の偏微分}}}\mathsf{\text{の連鎖率として}}{\displaystyle \frac{\partial y}{\partial x}={\displaystyle \frac{\partial y}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}}}\mathsf{\text{と表記される。}}$

2変数関数の合成関数の偏微分

$\mathsf{\text{全微分可能な}}2\mathsf{\text{変数関数}}f(u,v)\mathsf{\text{が、}}u=u(x,y)\mathsf{\text{、}}v=v(x,y)\mathsf{\text{ であるとき、合成関数}}F(x,y)\{=f(u(x,y),v(x,y))\}\mathsf{\text{を }}x\mathsf{\text{、}}y\mathsf{\text{ で偏微分する公式}}$

$${{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}}}}}_{,}{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}}}}$$

では、微分の定義に従って公式を証明してみよう。

$$\mathsf{\text{[証明]}}$$

${\displaystyle \frac{\partial F}{\partial x}}\{\begin{array}{l}{=\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{F(x+h,y)-F(x,y)}{h}{=\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u(x+h,y),v(x+h,y))-f(u(x,y),v(x,y))}{h}}}\\ {=\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u+\epsilon ,v+{\epsilon }^{\prime })-f(u,v)}{h}\left\{\begin{array}{c}u=(x+h,y)\}=u(x,y)+\epsilon =u+\epsilon \\ v=(x+h,y)\}=v(x,y)+{\epsilon }^{\prime }=v+{\epsilon }^{\prime }\end{array}\mathsf{\text{とおく。}}h\to 0\mathsf{\text{なので誤差}}\epsilon \mathsf{\text{、}}{\epsilon }^{\prime }\mathsf{\text{は}}0\mathsf{\text{に近づく。}}\right\}}\\ {=\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u+\epsilon ,v+{\epsilon }^{\prime })-f(u,v+{\epsilon }^{\prime })+f(u,v+{\epsilon }^{\prime })-f(u,v)}{h}\left\{\begin{array}{c}\mathsf{\text{微分の証明に行き詰まったら、このような式変形の手法をとる場合}}\\ \mathsf{\text{が多い。}}\end{array}\right\}}\\ {=\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u+\epsilon ,v+{\epsilon }^{\prime })-f(u,v+{\epsilon }^{\prime })}{\epsilon }\cdot {\displaystyle \frac{\epsilon }{h}+{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u,v+{\epsilon }^{\prime })-f(u,v)}{{\epsilon }^{\prime }}\cdot {\displaystyle \frac{{\epsilon }^{\prime }}{h}\{\mathsf{\text{分子が}}h\mathsf{\text{ではなく誤差をとっているので分母も誤差をとるように式変形する。}}\}}}}}\\ {=\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u+\epsilon ,v+{\epsilon }^{\prime })-f(u,v+{\epsilon }^{\prime })}{\epsilon }\cdot {\displaystyle \frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u,v+{\epsilon }^{\prime })-f(u,v)}{{\epsilon }^{\prime }}\cdot {\displaystyle \frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}}}}}\\ \left\{\begin{array}{c}\epsilon =u(x+h,y)-u(x,y)\\ {\epsilon }^{\prime }=v(x+h,y)-v(x,y)\end{array}\mathsf{\text{とおく。}}\right\}\\ {=\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(u+\epsilon )-f(u)}{\epsilon }\cdot {\displaystyle \frac{u(x+h,y)-u(x,y)}{h}+{\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{h\to 0}}{\displaystyle \frac{f(v+{\epsilon }^{\prime })-f(v)}{{\epsilon }^{\prime }}\cdot {\displaystyle \frac{v(x+h,y)-v(x,y)}{h}}}}}\\ \{\mathsf{\text{各分数式を整理すると微分(偏微分)の定義式に帰着する。}}\}\\ ={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}}}\{{\displaystyle \frac{\partial F}{\partial y}}\mathsf{\text{ も同様の過程で証明できる。}}\}\end{array}$

$$\begin{array}{l}\mathsf{\text{・ある関数}}z=f(x,y)\mathsf{\text{あるいは}}AA=f(x,y,z)\mathsf{\text{ や、それ以上の }}\mathsf{\text{独立変数}}\mathsf{\text{ (}}f()\mathsf{\text{内の変数}}\mathsf{\text{) を囲む関数を }}\mathsf{\text{多変数関数}}\mathsf{\text{ という。}}\\ \mathsf{\text{・左辺の}}z,AA\mathsf{\text{を }}\mathsf{\text{従属変数}}\mathsf{\text{という。}}\\ \mathsf{\text{・独立変数のとりうる値の範囲を }}\mathsf{\text{定義域}}\mathsf{\text{ といい、それに従属して従属変数 がとる値を }}\mathsf{\text{値域}}\mathsf{\text{ という。}}\end{array}$$

$3$変数以上の合成関数の偏微分

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{関数 }}f\mathsf{\text{ が 変数}}x1,x2,x3,\cdots ,xn\mathsf{\text{ の関数 }}g(x1,x2,x3,\cdots ,xn)\mathsf{\text{ の合成関数 である場合。}}\\ f(g(x1,x2,x3,\cdots ,xn))\\ \{\begin{array}{c}\mathsf{\text{関数}}f\mathsf{\text{ を関数}}g\mathsf{\text{ の複数}}(k\mathsf{\text{個}})\mathsf{\text{の変数で偏微分する式}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial xk}=\sum _{k=1}^n{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial g}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial xk}\{\mathsf{\text{高次偏導関数}}\mathsf{\text{の導出ではないので注意}}!\}}}}\\ \mathsf{\text{関数}}f\mathsf{\text{ を関数}}g\mathsf{\text{ の変数 }}xi\mathsf{\text{ で偏微分する式}}{\displaystyle \frac{\partial f}{\partial xi}={\displaystyle \frac{\partial f}{\partial g}{\displaystyle \frac{\partial g}{\partial xi}}}}\end{array}\end{array}$

関数の連続性

ある関数$f(x)$に連続性がある定義

$${\mathit{l}\mathit{i}\mathit{m}}_{\stackrel{{}^{}}{x\to a}}f(x)=f(a)$$

対数関数の連続性

$C1(C^1)\mathsf{\text{級関数}},C2(C^2)\mathsf{\text{級関数}},Cn(C^n)\mathsf{\text{級関数とは}}$

$\mathsf{\text{高階微分、多変数関数}}$

ガンマ関数

ガンマ関数は $\underset{―}{\mathsf{\text{階乗 を一般化}}(\mathsf{\text{拡張}})\mathsf{\text{した関数}}}$ である。

 階乗は $n!$ と表記され、定義は$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 1(n\mathsf{\text{は自然数、括弧内の各項は非負の整数}})$であるが、 この定義を、$n$と各項の要素を $\mathsf{\text{複素数}}$全体にまで拡張した関数がガンマ関数ということになる。

$\mathsf{\text{ガンマ関数の表記と自然数}}n\mathsf{\text{の階乗との関係式}}$

$\Gamma (n)=(n-1)!⟺n!=\Gamma (n+1)$

$\begin{array}{l}\Gamma (z)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{z-1}{e}^{-t}dt\left\{z\mathsf{\text{ は実部が正である複素数}}(z>0)\mathsf{\text{。}}t\mathsf{\text{ は }}{z}^2\mathsf{\text{。}}\right\}}\\ \mathsf{\text{[事例]}}\\ \\ z=1\\ \Gamma (1)={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{1-1}{e}^{-t}dt=\underset{―}{{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}1\cdot e^{-t}dt={\left[-e^{-t}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}}}={\left[-{\displaystyle \frac{1}{e^t}}\right]}_0^{\mathrm{\infty }}=\left[-{\displaystyle \frac{1}{e^{\mathrm{\infty }}}}\right]-\left[-{\displaystyle \frac{1}{e^0}}\right]=-0-(-1)=1}\\ \left\{\begin{array}{c}\mathsf{\text{過程のアンダーラインを引いた式について、}}{e}^{-t}\mathsf{\text{の不定積分が }}-e^{-t}\mathsf{\text{になることを証明してみよう。}}\\ {\displaystyle \int }{e}^{-t}dt\\ -t=u\mathsf{\text{とおき、}}{\displaystyle \frac{d}{dt}}(-t)dt={\displaystyle \frac{d}{du}}udu\mathsf{\text{ とすると、}}-1\cdot dt=1\cdot du\mathsf{\text{ となり、}}dt=-du\mathsf{\text{ ということになる。}}\\ \mathsf{\text{これを、与式 }}{\displaystyle \int }{e}^{-t}dt\mathsf{\text{にあてはめてみる。}}\\ {\displaystyle \int }{e}^u(-du)=-{\displaystyle \int }{e}^{u}du=-e^u\mathsf{\text{ したがって、}}{\displaystyle \int }{e}^{-t}dt=-e^{-t}\mathsf{\text{ となる。}}\end{array}\right\}\\ \\ z={\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \Gamma ({\displaystyle \frac{1}{2}})={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{{\displaystyle \frac{1}{2}}-1}{e}^{-t}dt={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}{u}^{-1}{e}^{-u^2}2udu=}}\end{array}$