積分の定義と公式
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\(\risingdotseq\)
\(\class{Boldfont}{\large\textsf{積分の定義式}}\)
\({\large F}^{\prime}\!{\small(x)}{\small\,=\,}{\large f}{\small(x)}\)\(\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}\displaystyle\int\!{\large f}{\small(x)}\,dx{\small\,=\,}{\large F}{\small (x)}{\small\,+\,}C\)
\(\textsf{関数$F{\small (x)}$の導関数を$f{\small(x)}$とすると}\)\(\textsf{$\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}f{\small(x)}$の積分は 関数$F{\small(x)}{\small\,+\,}C$ になる。}\)
関数\(F{\small(x)}\)は微分する以前の元の関数という意味で \({\underline{\color{black}\textsf{原始関数}}}\) という。
\(\scriptsize\displaystyle\int\!\!{\small f}{\tiny(x)}{\scriptsize\,dx}\)は変数\(x\)で微分した関数\({\small f}{\tiny(x)}\)を積分\((\scriptsize\textsf{微分すると関数${f}{\tiny (x)}$になる})\)する、という表記。
\(C\)は特定できない定数項で \({{\underline{\color{black}\textsf{積分定数}}}}\) という。特定できないとは、定数値は微分するとすべて \(0\) になるからである。
積分は\(\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#微分}{\color{teal}\textsf{微分}}\)の 逆演算 である。積分の理解のためは、まず微分の理解が必要である。
\(\class{Boldfont}{\large\textsf{積分の公式}}\)
関数\({\large f}{\small (x)}{\small\,=\,}x^{n}\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle\int\!({\large x}^{n})\,dx{\small\:=\:}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{n+1}}\,{\large x}^{\small n+1}+C\)
定数\(k\)
\(\hspace{10pt}\displaystyle\int\!(k)\,dx{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}k \cdot {\scriptsize\displaystyle\frac{1}{n{\tiny(=\!0)}+1}}\,{\large x}^{\small n{\scriptsize (=\,0)}+1}+C\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}k\,x{\small\,+\,}C\hspace{30pt}\left\{\scriptsize{x^{\scriptsize 0}{\scriptsize\,=\,}1 \hspace{10pt}{\large ☜}\hspace{5pt}\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/exponents-and-logarithms/#指数法則}{\color{teal}\textsf{指数法則}}}\right\}\)
\(\href{https://showanojoe.com/template-math/about-functions/#合成関数}{\color{teal}\textsf{合成関数}}{\large f}({g\scriptsize(x)})\)
\(\scriptsize\textsf{${\normalsize g}{\tiny(x)}$ を $t$ と置くと、}{\small\displaystyle\int}{\large f}{\small (g{\scriptsize(x)})dx}\)\({\small\:=\,}{\small\displaystyle\int}{\large f}{\small (t)dx}\)\({\small\:=\,}{\small\displaystyle\int}{\large f}{\small (t)}\cdot{\color{red}\underline{\color{black}\scriptsize\displaystyle\frac{dt}{dx}}}\,\small dt\hspace{30pt}{\large ☜}\hspace{5pt}\href{#置換積分}{\color{teal}\scriptsize\textsf{置換積分}}\textsf{、$\,$}\href{https://showanojoe.com/template-math/about-functions/#合成関数の微分}{\color{teal}\scriptsize\textsf{合成関数の微分}}\)
赤いアンダーラインの部分は、\(\small\displaystyle\frac{dx}{dt}\) ではないので注意\(!\)
\(\textsf{特殊基本関数}\)
\(\hspace{7pt}\)\({\large\lbrack}\left\{f{\scriptsize(x)}\right\}^{n}{\large\rbrack}^{\prime}{\small\;=\,}nf^{\prime}\!{\scriptsize (x)}\left\{f{\scriptsize (x)}\right\}^{n-1}\)\({\small \hspace{10pt}\Longleftrightarrow\hspace{10pt}}\)\({\displaystyle\int}nf^{\prime}\!{\small(x)}\left\{f{\small(x)}\right\}^{n-1}\,dx{\small\;=\,}\left\{f{\small(x)}\right\}^{n}{\small \;+\;}C\)
\(\hspace{10pt}\)被積分関数の係数\(n\)がなければ\(\hspace{30pt}\) \({\displaystyle\int}\hspace{5pt}f^{\prime}\!{\small(x)}\left\{f{\small(x)}\right\}^{n-1}\,dx{\small\;=\,}{\displaystyle\frac{1}{n}}\left\{f{\small(x)}\right\}^{n}{\small \;+\;}C\)
\(\hspace{7pt}\)\(\left\{log|f{\small(x)}|\right\}^{\prime}{\small\;=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{f{\scriptsize (x)}}}f^{\prime}\!{\small (x)}\)\({\small \hspace{10pt}\Longleftrightarrow\hspace{10pt}}\)\({\displaystyle\int}\!{\small\displaystyle\frac{1}{f{\scriptsize (x)}}}f^{\prime}\!{\small (x)}\,dx{\small\;=\,}log|f{\small(x)}|{\small \;+\;}C\)
\(\color{gray}\textsf{[事例]}\)
\( \hspace{20pt}{\large f}{\small (x)}{\small\,=\,}x^{2}{\small\,-\,}2x{\small\,-\,}1 \)
\(\hspace{35pt}\displaystyle\int \!(x^{2}{\small\,-\,}2x{\small\,-\,}1) \,dx\)\({\small\:=\:}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2+1}}x^{\small 2+1}{\small\,-\,}2\cdot{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{1+1}}x^{\small 1+1}{\small\,-\,}1\cdot{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{0+1}}x^{\small 0+1}{\small\,+\,}C\)\({\small\:=\:}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{3}}x^{3}{\small\,-\,}x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,+\,}C\)\({\color{#00ff7f}\checkmark}\)
\(\color{gray}\textsf{[事例$2$]}\)
\( \hspace{20pt}{\large f}{( g{\scriptsize(x)})}{\small\,=\,}sin(2x{\small\,-\,}y) \)
\(\hspace{30pt}(2x{\scriptsize\,-\,}y)\) を \(t\) と置くと、\({\small\displaystyle\frac{dt}{dx}}{\small\,=\,}2\) で \(dx{\small\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}dt\)
\(\hspace{25pt}{\small\,\rightarrow\hspace{10pt}}{\small\displaystyle\int}\:t\hspace{3pt}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}dt{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}({\small\,-\,}cos\,t){\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\small-\displaystyle\frac{1}{2}}cos(2x{\small -}y){\small\,+\,}C\)\({\color{#00ff7f}\checkmark}\)
定積分
区間\((\textsf{積分区間という})\)を設けた積分を 定積分 という。
\(a\) から \(b\) の区間の定積分の定義式は \(\displaystyle\int_{\!\large a}^{\large b}\!\!{\large f}{\small (x)}dx\) と表記される。
計算式は前節の積分の定義と公式\((\)前節で扱った区間を設けていない積分を\(\underline{\textsf{不定積分}}\)という\()\) を基に、
\(\hspace{50pt} \small{\displaystyle\int_{\!a}^{b}\!\!{\normalsize f}{\scriptsize (x)}dx}\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\normalsize\lbrack F{\small (x)}\rbrack_a^b\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}} F{\small (b)}{\scriptsize\,+\,}C{\small\,-\,}F{\small (a)}{\scriptsize\,+\,}C\)
\(\Large\lbrace\)\(F{\scriptsize (b)}{\scriptsize\,+\,}C{\scriptsize\,-\,}F{\scriptsize (a)}{\scriptsize\,+\,}C\) すなわち 不定積分\({\scriptsize\,-\,}\)不定積分 なので、 \(\color{red}\underline{\color{black}\textsf{定積分の定義においては、積分定数$C$は相殺}}\)される\((\)消失する\()。\)\(\Large\rbrace\)
\( \hspace{100pt}{\small\;=\;}F(a){\small\;-\;}F(b)\hspace{10pt} \textsf{となる。}\)
\({\color{gray}{\textsf{[事例]}}}\)
\(\small{\displaystyle\int_{{\tiny -}5}^{{\phantom{\tiny -}5}}}|x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6|\,{dx}\) を導出してみる。
まずは、\(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/absolute-value/}{\color{teal}\textsf{絶対値}}\)記号がついた\(2\)次式を \(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/factor/#因数とは}{\color{teal}\textsf{因数分解}}\) して \(\color{red}\underline{\color{black}\textsf{積分区間点}}\) を求める。
\(\hspace{50pt}x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6{\small\,=\,}(x{\small\,+\,}2)(x{\small\,-\,}3)\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}x{\small\,=\,}{\small -}2,\,x{\small\,=\,}{\small +}3\)
次に、絶対値記号を外して\(2\)次式を、\(\color{red}\underline{\color{black}\textsf{$0$以上と$0$以下の場合分け}}\) をする。
\(\hspace{45pt}|x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6|{\small\,=\,}\left\{\begin{array}{l}x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6\,{\small\geqq}\,0\hspace{25pt}(x\,{\small\leqq}\,{\small -}2,\,x\,{\small\geqq}\,3) \\ x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6\,{\small\leqq}\,0\hspace{25pt}({\small -}2\,\,{\small\leqq}\,x\,{\small\leqq}\,3)\end{array}\right. \)
通常の場合分けは\(0\)以上\(0\)未満だが、定積分の場合は整合性をとるため\(0\)以上と\(0\)以下とする\((\small\textsf{場合分けについては $\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/inequality/}{\textsf{$2$次不等式}}$ を参照})\)。
で、これ\((\textsf{場合分けした積分区間})\)を、課題の \(\small{\displaystyle\int_{{\tiny -}5}^{{\phantom{\tiny -}5}}}|x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6|\,{dx}\) の積分区間 \({\small -}5\textsf{〜}5\) に 融合する。
\(\small{\displaystyle\int_{{\tiny -}5}^{{{\tiny -}2}}}(x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6)\,{dx}\)\({\hspace{5pt}\bf{\small +}\hspace{5pt}}\small{\displaystyle\int_{{\tiny -}2}^{{\phantom{\tiny -}}3}}{\small -}(x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6)\,{dx}\)\({\hspace{5pt}\bf{\small +}\hspace{5pt}}\small{\displaystyle\int_{\phantom{\tiny -}3}^{{\phantom{\tiny -}}5}}(x^{2}{\small\,-\,}x{\small\,-\,}6)\,{dx}\)
\( {\small\,=\,}\left[\,\small{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\normalsize x}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\normalsize x}^{2}\,-\,6}\,\right]_{{\scriptsize -}5}^{{\scriptsize -}2}\)\(\hspace{5pt}{\bf -}\hspace{5pt} \left[\,\small{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\normalsize x}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\normalsize x}^{2}\,-\,6}\,\right]_{{\scriptsize -}2}^{{\phantom{\scriptsize -}}3}\)\(\hspace{5pt}{\bf +}\hspace{5pt} \left[\,\small{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\normalsize x}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\normalsize x}^{2}\,-\,6}\,\right]_{{\phantom{\scriptsize -}}3}^{{\phantom{\scriptsize -}}5}\)\({\small\,=\,}\scriptsize{\left[\left\{\,{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\scriptsize ({\scriptsize -}2)}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\scriptsize ({\scriptsize -}2)}^{2}\,-\,6}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\scriptsize ({\scriptsize -}5)}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\scriptsize ({\scriptsize -}5)}^{2}\,-\,6}\,\right\}\right]{\normalsize\,-\,}\left[\left\{\,{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\scriptsize (3)}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\scriptsize (3)}^{2}\,-\,6}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\scriptsize ({\scriptsize -}2)}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\scriptsize ({\scriptsize -}2)}^{2}\,-\,6}\,\right\}\right]}{\scriptsize{\normalsize\,+\,}\left[\left\{\,{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\scriptsize (5)}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\scriptsize (5)}^{2}\,-\,6}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{\displaystyle\frac{{1}}{3}{\scriptsize (3)}^{3}\,-\,\displaystyle\frac{1}{2}{\scriptsize (3)}^{2}\,-\,6}\,\right\}\right]}\)
\({\small\,=\,}\scriptsize{\left[\left\{\,{-\displaystyle\frac{{8}}{3}\,-\,\displaystyle\frac{4}{2}\,-\,6}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{-\displaystyle\frac{{125}}{3}\,-\,\displaystyle\frac{25}{2}\,-\,6}\,\right\}\right]{\normalsize\,-\,}\left[\left\{\,{\displaystyle\frac{{27}}{3}\,-\,\displaystyle\frac{9}{2}\,-\,6}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{-\displaystyle\frac{{8}}{3}\,-\,\displaystyle\frac{4}{2}\,-\,6}\,\right\}\right]}{\scriptsize{\normalsize\,+\,}\left[\left\{\,{\displaystyle\frac{{125}}{3}\,-\,\displaystyle\frac{25}{2}\,-\,6}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{\displaystyle\frac{{27}}{3}\,-\,\displaystyle\frac{9}{2}\,-\,6}\,\right\}\right]}\)
\({\small\,=\,}\scriptsize{\left[\left\{\,{-\displaystyle\frac{{16}}{6}\,-\,\displaystyle\frac{12}{6}\,-\,\displaystyle\frac{36}{6}}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{-\displaystyle\frac{{250}}{6}\,-\,\displaystyle\frac{75}{6}\,-\,\displaystyle\frac{36}{6}}\,\right\}\right]{\normalsize\,-\,}\left[\left\{\,{\displaystyle\frac{{54}}{6}\,-\,\displaystyle\frac{27}{6}\,-\,\displaystyle\frac{36}{6}}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{-\displaystyle\frac{{16}}{6}\,-\,\displaystyle\frac{12}{6}\,-\,\displaystyle\frac{36}{6}}\,\right\}\right]}{\scriptsize{\normalsize\,+\,}\left[\left\{\,{\displaystyle\frac{{250}}{6}\,-\,\displaystyle\frac{75}{6}\,-\,\displaystyle\frac{36}{6}}\,\right\}{\normalsize\,-\,}\left\{\,{\displaystyle\frac{{54}}{6}\,-\,\displaystyle\frac{27}{6}\,-\,\displaystyle\frac{36}{6}}\,\right\}\right]}\)
定積分の式変形
\(\small{\displaystyle\int_{\!a}^{b}\!\!{\color{red}k}{\normalsize f}{\scriptsize (x)}dx}\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\small {\color{red}k}{\displaystyle\int_{\!a}^{b}\!\!{\normalsize f}{\scriptsize (x)}dx}\)
なお、\(\color{red}k\) は定数であることは言うまでもない。以下、条件箇所を\(\color{red}{\textsf{赤字}}\)、指摘箇所を\(\color{blue}{\textsf{青字}}\)で示す。
\(\small{\displaystyle\int_{\!\color{red}a}^{\color{red}b}\!\!{\normalsize f}{\scriptsize (x)}dx}{\small\hspace{5pt}+\hspace{5pt}}\small {\displaystyle\int_{\!\color{red}a}^{\color{red}b}\!\!{\normalsize g}{\scriptsize (x)}dx}\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\small {\displaystyle\int_{\!a}^{b}\!\!\left\{{\normalsize f}{\scriptsize (x)}+{\normalsize g}{\scriptsize (x)}\right\}\,dx}\)
\( \small{\displaystyle\int_{\!a}^{b}\!\!{\normalsize f}{\scriptsize (x)}dx}{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\color{black}\small\hspace{5pt}-}\small{\displaystyle\int_{\color{blue}b}^{\color{blue}a}\!\!{\normalsize f}{\scriptsize (x)}dx}\)
\(\hspace{15pt}\) 展開すれば \({\small\displaystyle\int_{\!a}^{b}\!\!{ f}{\tiny (x)}{\scriptsize dx}}{\scriptsize\,=\,}{ F}{\tiny (b)}{\scriptsize \,-\,}{ F}{\tiny (a)}\)\({\scriptsize\,=\,}{\scriptsize \,-\,}({ F}{\tiny({a})}{\scriptsize \,-\,}{ F}{\tiny (b)}){\scriptsize\,=\,}{\scriptsize \,{\color{black}-}\,}\small{\displaystyle\int_{b}^{a}\!\!{ f}{\tiny (x)}{\scriptsize dx}}\) となるので。
\(\begin{array}{l}\small\textsf{被積分関数が同じ関数であることが条件。} \\ \small{\displaystyle\int_{\!a}^{\color{red}b}\!\!{\color{red}{\normalsize f}{\scriptsize (x)}}dx}{\small\hspace{5pt}{\color{red}+}\hspace{5pt}}\small{\displaystyle\int_{\color{red}b}^{c}\!\!{\color{red}{\normalsize f}{\scriptsize (x)}}dx}{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\small{\displaystyle\int_{\!\color{blue}a}^{\color{blue}c}\!\!{\normalsize f}{\scriptsize (x)}dx}\end{array}\)
\(\hspace{15pt}\)展開すれば \(\scriptsize\left[{\small{\displaystyle\int_{\!a}^{b}\!\!{ f}{\tiny (x)}{\scriptsize dx}}{\scriptsize\:=\:}{ F}{\tiny (b)}{\scriptsize \:-\:}{ F}{\tiny (a)}}\right]{\scriptsize \,{\color{black}+}\,}\left[{\small{\displaystyle\int_{b}^{c}\!\!{ f}{\tiny (x)}{\scriptsize dx}}{\scriptsize\,=\,}{ F}{\tiny (c)}{\scriptsize \,-\,}{ F}{\tiny (b)}}\right]\)\({\small\:=\:}\left[{\small{\displaystyle\int_{a}^{c}\!\!{ f}{\tiny (x)}{\scriptsize dx}}{\scriptsize\:=\:}{ F}{\tiny (c)}{\scriptsize \:-\:}{ F}{\tiny (a)}}\right]\) となるので。
\(\begin{array}{l}\small\textsf{ ${\normalsize f}{\scriptsize (x)}$ は $\href{https://showanojoe.com/template-math/graph/#偶関数_奇関数}{\color{teal}\textsf{偶関数}}$ であることが条件。} \\ {\small\displaystyle\int_{\color{red}\!{\tiny -}a}^{\color{red}a}}\!\!{\color{red}{{\normalsize f}{\scriptsize (x)}}}dx{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\color{blue}2}\small{\displaystyle\int_{\color{blue}0}^{a}}\!\!{\color{red}{{\normalsize f}{\scriptsize (x)}}}dx\end{array}\)
\(\hspace{10pt}\)区間の下端 \(-a\) が\(0\) に変換されることにより、計算が容易になる。
\(\begin{array}{l}\small\textsf{ ${\normalsize f}{\scriptsize (x)}$ は $\href{https://showanojoe.com/template-math/graph/#偶関数_奇関数}{\color{teal}\textsf{奇関数}}$ であることが条件。} \\ {\small\displaystyle\int_{\color{red}\!{\tiny -}a}^{\color{red}a}}\!\!{\color{red}{{\normalsize f}{\scriptsize (x)}}}dx{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}0\end{array}\)
\(\hspace{10pt}\begin{array}{l} \small\textsf{定積分は $0$ になる。}\end{array}\)
分数関数の積分
分数関数の積分基本公式
\(\hspace{10pt}\displaystyle\int{\small\displaystyle\frac{1}{x}}\,dx{\scriptsize\,=\,}log|x|{\small +}C,\hspace{5pt}\displaystyle\int{\small\displaystyle\frac{f^{\prime}\!{\scriptsize(x)}}{f{\scriptsize(x)}}}\,dx{\scriptsize\,=\,}log|f{\scriptsize(x)}|{\small +}C\)
\(\color{gray}{\textsf{[事例]}}\)
\({\small\displaystyle\int\scriptsize\frac{1}{x^{2}-1}}\,{\small dx}\)
分母が因数分解できるので、\({\small\displaystyle\int\scriptsize\frac{1}{x^{2}-1}}{\small dx}{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\small\displaystyle\int\scriptsize\frac{1}{(x-1)(x+1)}}\,{\small dx}\)
次に 分数関数の積分基本公式\(\small\displaystyle\int{\scriptsize\displaystyle\frac{f^{\prime}\!{\scriptsize(x)}}{f{\scriptsize(x)}}}\,dx{\color{lightgray}{\scriptsize\,=\,}log|f{\scriptsize(x)}|{\small +}C}\) に沿うように被積分関数を式変形する。\(\)
\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\small\displaystyle\int\scriptsize\frac{1}{2}}\left\{{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{(x-1)}}{\small\,-\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{(x+1)}}\right\}\,{\small dx}{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}{\small\displaystyle\int}\left\{{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{(x-1)}}{\small\,-\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{(x+1)}}\right\}\,{\small dx}\)
分数を複数の分数の差に分解して補正した式変形を \(\underline{\textsf{部分分数分解}}\) という。\(\alpha\left({\scriptsize\displaystyle\frac{A}{ax+b}}{\scriptsize\,-\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{B}{cx+d}}\right)\hspace{5pt}\)ただし\((ax+b{\:\lt\:}cx+d)\)。
事例の過程では、補正箇所 \(\alpha\) は \(\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}\) である。部分分数分解したことで、とりあえず被積分関数を \({\scriptsize\displaystyle\frac{f^{\prime}\!{\tiny(x)}}{f{\tiny(x)}}-\displaystyle\frac{f^{\prime}\!{\tiny(x)}}{f{\tiny(x)}}}\) の形にした。
以降、\(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/exponents-and-logarithms/#対数法則}{\textsf{対数法則}}\) を参照して、
\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\left({\small log|x-1|}{\scriptsize\,-\,}{\small log|x+1|}\right){\small\hspace{2pt}+\hspace{2pt}\small C}{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\,log\,|{\scriptsize\displaystyle\frac{x-1}{x+1}}|{\small\hspace{2pt}+\hspace{2pt}\small C}{\color{#00ff7f}\checkmark}\)
置換積分
置換積分は、\(\href{https://showanojoe.com/template-math/about-functions/#合成関数}{\textsf{合成関数}}(\small\textsf{特に$\sqrt{\phantom{a}}$ が入った無理関数})\)を文字に置換することで積分の計算に利便性を持つ積分法である。
\( \color{gray}{\textsf{[事例]}}\)
\(\displaystyle\int_{1}^{2} {\scriptsize\displaystyle\frac{x}{\sqrt{x+1}}}\,dx\)
\(x+1\) を \(t\) と置換する。
\({\small\displaystyle\frac{dt}{dx}\,=\,}1\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}dx{\small\,=\,}1\cdot dt,\hspace{5pt}x{\small\,=\,}t{\small\,-\,}1\)\(\;{\small\rightarrow}\;t{\small\,=\,}x{\small\,+\,}1\)
積分区間を \({\small x:1\,\mapsto\,x:2}\) から \(t:2\,\mapsto\,t:3\) に変換。
与式は \({\small\displaystyle\int_{2}^{3}}{\scriptsize\displaystyle\frac{t-1}{\sqrt{t}}}\:1\cdot dt\)
\(\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}{\Large\lbrack}{\small\displaystyle\frac{2}{3}}t^{{\tiny\displaystyle\frac{3}{2}}}\left({\small\displaystyle\frac{1}{2}}t-t\right){\Large\rbrack}_{2}^{3}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}{\Large\lbrack}{\small\displaystyle\frac{2}{3}}t\sqrt{t}\left( {\small\displaystyle\frac{1}{2}}t-t\right){\Large\rbrack}_{2}^{3}\)
\(\hspace{5pt}=\hspace{7pt}{\Large\lbrack}{\small\displaystyle\frac{2}{3}}3\sqrt{3}\left( {\small\displaystyle\frac{1}{2}}3-3\right){\Large\rbrack}_{2}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}{\Large\lbrack}2\sqrt{3}\left( {\small\displaystyle\frac{3}{2}}-3\right){\Large\rbrack}_{2}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}{\Large\lbrack}3\sqrt{3}-6\sqrt{3}{\Large\rbrack}_{2}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}{\Large\lbrack}-3\sqrt{3}{\Large\rbrack}_{2}\)
\(\hspace{5pt}=\hspace{7pt}{\Large\lbrack}{\small -}3\sqrt{3}{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{2}{3}}t^{{\tiny\displaystyle\frac{3}{2}}}\left({\small\displaystyle\frac{1}{2}}t-t\right){\Large\rbrack}_{2}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}{\Large\lbrack}{\small -}3\sqrt{3}{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{2}{3}}t\sqrt{t}\left({\small\displaystyle\frac{1}{2}}t-t\right){\Large\rbrack}_{2}\)
\(\hspace{5pt}=\hspace{7pt}{\Large\lbrack}{\small -}3\sqrt{3}{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{2}{3}}2\sqrt{2}\left({\small\displaystyle\frac{1}{2}}2-2\right){\Large\rbrack}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}{\Large\lbrack}{\small -}3\sqrt{3}{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{3}}\left(1-2\right){\Large\rbrack}\)
\(\hspace{5pt}=\hspace{7pt}{\Large\lbrack}{\small -}3\sqrt{3}{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{3}}+{\small\displaystyle\frac{8\sqrt{2}}{3}}{\Large\rbrack}\)\(\hspace{3pt}=\hspace{3pt}{\small -}3\sqrt{3}+{\small\displaystyle\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\color{#00ff7f}\checkmark}\)
\(\color{gray}{\textsf{[事例$2$]}}\)
\(\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\!{\small\sqrt{2{\small -}x^{2}}}\,dx\)
この事例の形式\((\small{{\color{red}a^{2}-x^{2}}\,\textsf{を含む}})\)の数式を置換積分する解法は一つしかない。なので、この事例は暗記事項\((\small\textsf{パターン認識と言うらしい})\)といえよう。以下にこの事例の数式形式の一般的な解法\((\small\textsf{公式のようなもの})\)を記する。
\({\small\displaystyle\int_{0}^{\small \alpha} \sqrt{{a^{2}}-x^{2}}\:{\small dx}\hspace{10pt}(a\:\gt\:0)}\)
\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/extension-trigonometric-ratios/#単位円と三角比}{\textsf{三角比の相互関係}}\)式を考慮して、\(\color{red}\underline{\color{black}x{\scriptsize\,=\,}a\,sin\theta}\) とおく。 \({\small\displaystyle\frac{dx}{d\theta}}{\scriptsize\,=\,}a\,cos\theta\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}dx{\scriptsize\,=\,}a\,cos\theta\,d\theta\)
被積分関数は \({\small\sqrt{a^{2}{\scriptsize\,-\,}x^{2}}}{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\sqrt{a^{2}({\color{red}\underline{\color{black}1{\scriptsize\,-\,}sin^{2}\theta}}})}{\scriptsize\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}a\,cos\theta\) となる。以降、具体的な数値による 積分区間の変換になる。では以上の一般的な解法で事例の無理関数を置換積分してみる。
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}\sqrt{2{\small -}x^{2}}\,dx\hspace{10pt}\) \(x\) を \(\small\sqrt{2}\,sin\theta\) と置くと、\(\small\displaystyle\frac{dx}{d\theta}{\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}\sqrt{2}\,cos\theta{\small\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}}dx{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}\sqrt{2}\,cos\theta\,d\theta\)
\(\small x{\scriptsize\,=\,}\sqrt{2}\,cos\theta\) なので、積分区間 \(x:{\scriptsize 0}{\small\hspace{5pt}\mapsto\hspace{5pt}}\scriptsize\sqrt{2}\) は、\({\scriptsize\displaystyle\frac{\small x}{\sqrt{2}}\,=\,\small sin\theta}\) で、\(x\) に \(\small 0,\,\sqrt{2}\) を代入して、\(\theta:{\scriptsize 0}{\hspace{5pt}\mapsto\hspace{5pt}}\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}\) となる。
\({\small\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{2}}}\sqrt{2{\small -}x^{2}}\,{\normalsize dx}\hspace{3pt}=\hspace{3pt}\small\displaystyle\int_{0}^{{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}\sqrt{2}cos\theta\,\sqrt{2}cos\theta\,d\theta\hspace{3pt}=\hspace{3pt}2\small\displaystyle\int_{0}^{{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}cos^{2}\theta\,d\theta\)
ここで \(cos^{2}\theta\) を\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/kastatutory-law/#半角の公式}{\textsf{半角の公式}}\)によって変形して、積分できるようにする。
\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small2\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1+cos2\theta}{2}}\,d\theta{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}2\cdot {\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}{\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1+cos2\theta}{2}}\,d\theta{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}1{\small\,+\,}cos2\theta\,d\theta\)
\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\LARGE\lbrack}{\small\theta{\small\,+\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}sin2\theta}{\LARGE\rbrack}_{\scriptsize 0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\hspace{20pt}\)☜ \(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/trigonometric-calculus/#三角関数の微分}{\textsf{三角関数の微分}}\)を参照。
\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\LARGE\lbrack}\left(\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}{\,+\,}\displaystyle\frac{1}{2}sin2\cdot\displaystyle\frac{1}{2}\pi\right){\small\,-\,}\left(0{\,+\,}0\right){\LARGE\rbrack}{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\color{#00ff7f}\checkmark}\)
\(\color{gray}{\textsf{[事例$3$]}}\)
\(\displaystyle\int{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}{\small\,+\,}1}}}\,dx\)
この事例の形式\((\small{{\color{red}a^{2}+x^{2}}\,\textsf{を含む}})\)の数式も置換積分におけるパターン認識である。以下にこの事例の数式形式の一般的な解法をふまえて記する。
\({\small\displaystyle\int \scriptsize\displaystyle\frac{1}{{a^{2}}{\scriptsize\,+\,}x^{2}}\:{\small dx}\hspace{10pt}(a\:\gt\:0)}\)
三角比の相互関係式を考慮して、\(\color{red}\underline{\small\color{black}x{\scriptsize\,=\,}a\,tan\theta}\) とおく。 \({\scriptsize\displaystyle\frac{dx}{d\theta}}{\scriptsize\,=\,}\small a\,tan\theta\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}dx{\scriptsize\,=\,}a\,tan\theta\,d\theta\)
事例の被積分関数の分母 \({\small\sqrt{a^{2}{\scriptsize\,+\,}x^{2}}}\) は \({\scriptsize\sqrt{a^{2}(\color{red}\underline{\color{black}1{\small\,+\,}tan^{2}\theta}})}{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{{\scriptsize\sqrt{\displaystyle\frac{a^{2}}{cos^{2}\theta}}}}\)、 被積分関数の分子は、\({\scriptsize\displaystyle\frac{dx}{d\theta}}{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}a\cdot{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{cos^{2}\theta}},\hspace{5pt}dx{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{\small a}{cos^{2}\theta}}{\small d\theta}\hspace{20pt}\)☜ 事項の数式は \(\small\displaystyle\int{\scriptsize\displaystyle\frac{dx}{\sqrt{x^{2}{\small\,+\,}1}}}\) とも表せる。微分は\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/trigonometric-calculus/#三角関数の微分}{\color{teal}\textsf{三角関数の微分}}\)を参照。
では以上の一般的な解法で事例の無理関数を置換積分してみる。
とりあえず、認識しやすいように事例の式を変形する。 \({\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^{2}{\small\,+\,}1}}}\,{\small dx}{\small\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}{\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1{\small\,+\,}x^{2}}}}\,{\small dx}\)
\({\small\displaystyle\int\scriptsize\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1{\small -}x^{2}}}}\,{\small dx}\hspace{10pt}\) \(x\) を \(tan\theta\) と置くと、\(d\theta\)の被積分関数は \({\displaystyle\frac{{\scriptsize\displaystyle\frac{cos^{2}\theta}{cos^{2}\theta}}}{\scriptsize\displaystyle\frac{\sqrt{cos^{2}\theta}}{1}}}{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\displaystyle\frac{{\scriptsize\displaystyle\frac{cos^{2}\theta}{cos^{2}\theta}}}{\scriptsize\displaystyle\frac{cos\theta}{1}}}{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{cos\theta}}\) となる。 \({\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{\sqrt{1{\small +}x^{2}}}}\, {\small dx}\)\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{cos\theta}\,{\small d\theta}}\hspace{15pt}\)以降は\(\href{#分数関数の積分}{\color{teal}\textsf{分数関数の積分}}\)計算になる。
\({\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{cos\theta}\,{\small d\theta}}\hspace{0pt}\)\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{cos\theta}{cos^{2}\theta}\,{\small d\theta}}{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{cos\theta}{1-sin^{2}\theta}\,{\small d\theta}}{\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{1-sin^{2}\theta}\,{\small cos\theta\, d\theta}}\hspace{15pt}\)三角関数の分数関数が被積分関数となる分数関数の積分の部分分数分解は、三角比の相互関係式を用いる。
それで、\(\small t {\scriptsize\,=\,}sin\theta\) と置く。\({\scriptsize\displaystyle\frac{dt}{d\theta}\,=\,}{\small cos\theta}{\scriptsize\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}{\small dt\scriptsize \,=\,}{\small cos\theta\, d\theta}\hspace{10pt}\)
\({\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{1-t^{2}}\,{\small dt}}\)\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{(1-t)(1+t)}\,{\small dt}}\)\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\small\displaystyle\int}\,{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\left({\scriptsize\displaystyle\frac{1}{1-t}}{\small-}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{1+t}}\right)\,{\small dt}\)\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\,\left({\scriptsize log\left|x-1\right|}{\scriptsize\,-\,}{\scriptsize log\left|x+1\right|}\right)\,{\small dt}\)\({\scriptsize\hspace{3pt}=\hspace{3pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\,{\small log}\left|{\scriptsize\displaystyle\frac{x-1}{x+1}}\right|\,{\small dt}{\small \,+\,C}\)
\(t\) を \(sin\theta\) に戻すと、
\({\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\,{\small log}\left|{\scriptsize\displaystyle\frac{1-sin\theta}{1+sin\theta}}\right|\,{\small dt}{\small \,+\,C}\)\({\scriptsize\hspace{10pt}\rightarrow}\hspace{10pt}\)\({\small\displaystyle\int}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{cos\theta}\,{\small d\theta}}\hspace{15pt}\)
\(sin\theta\) を \(\small x=tan\theta\) との関係式に戻す。\(\small sin\theta{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{tan\theta}{\sqrt{1+tan^{2}\theta}}}\)\({\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}\hspace{10pt}\)
\({\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\,{\small log}\left|{\scriptsize\displaystyle\frac{1-sin\theta}{1+sin\theta}}\right|{\small \,+\,C}\)\({\scriptsize\hspace{10pt}\rightarrow}\hspace{10pt}\)\({\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\,{\small log}\left|{\scriptsize\displaystyle\frac{1-\tiny\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{1+\tiny\displaystyle\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}}\right|{\small \,+\,C}\)\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}\)\({\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\,{\small log}\left|{\scriptsize\displaystyle\frac{x-\tiny\sqrt{1+x^{2}}}{x+\tiny\sqrt{1+x^{2}}}}\right|{\small \,+\,C}\)\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}\)\({\scriptsize\displaystyle\frac{1}{2}}\,{\small log}\left|{\scriptsize\displaystyle\frac{({\,x-\tiny\sqrt{1+x^{2}}\,})^{2}}{-1}}\right|{\small \,+\,C}\)\(\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}{\small log}\,({\small x-\sqrt{1+x^{2}}}){\small \,+\,C}{\color{#00ff7f}\checkmark}\hspace{10pt}\)☜ \(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/absolute-value/}{\color{teal}\textsf{絶対値}}\)、\(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/exponents-and-logarithms/#対数法則}{\color{teal}\textsf{対数法則}}\)を参照。
部分積分
同じ変数を持つ\(2\)つの関数の積で構成された関数の積分は面倒である。そこで 部分積分 による解法を用いる。
\(\class{Boldfont}{\textsf{部分積分の公式}}\)
\({\displaystyle\int}f{\scriptsize(x)}g{\scriptsize(x)}\,dx\)\({\small\,=\,}f{\scriptsize(x)}G{\scriptsize(x)}{\small\,-}{\displaystyle\int}f^{\prime}{\scriptsize(x)}G{\scriptsize(x)}\,dx\)
\({\displaystyle\int_{a}^{b}}f{\scriptsize(x)}g{\scriptsize(x)}\,dx\)\({\small\,=\,}{\Large\lbrack} f{\scriptsize(x)}G{\scriptsize(x)}{\Large\rbrack}_{a}^{b}{\small\,-}{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}f^{\prime}{\scriptsize(x)}G{\scriptsize(x)}\,dx\)
\(\color{gray}{\textsf{[事例]}}\)
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\normalsize e}^{x}\,sin{\normalsize x\,{\small d}x}\)
部分積分の公式から
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\pi}{\normalsize e}^{x}\,sin{\normalsize x\,{\small d}x}{\small\,=\,}{\Large\lbrack} sin{\normalsize x}\,{\normalsize e}^{x}{\Large\rbrack}_{0}^{\pi}{\small\,-}{\displaystyle\int_{0}^{\pi}}cos{\normalsize x}\,{\normalsize e}^{x}\,dx\)
積の形で表された\(2\)つの関数の内、 微分すると定数になる関数の一方を \(f{\scriptsize(x)}\) とおいた方が部分積分の計算はしやすい。 この[事例]では、\(f{\scriptsize(x)}\) を \({\large e}^{x}\) とおいても \(sin{\large x}\) とおいても計算のやりやすさに大差はない。
\({\small\,=\,}(sin\pi\cdot \,{\normalsize e}^{\pi}{\small\,-\,}sin0\cdot {\normalsize e}^{0}){\small\,-}{\Large\lbrack}{\small sin}{\normalsize x}\,{\normalsize e}^{x}{\Large\rbrack}_{0}^{\pi}\)\({\small\,=\,}0\cdot \,{\normalsize e}^{\pi}{\small\,-\,}0\cdot 1{\small\,-\,}(sin\pi\cdot \,{\normalsize e}^{\pi}{\small\,-\,}sin0\cdot {\normalsize e}^{0})\)\({\small\,=\,}0{\small\,-\,}(0\cdot \,{\normalsize e}^{\pi}{\small\,-\,}0\cdot 1)\)\({\small\,=\,}0{\color{#00ff7f}\checkmark}\)
\(\hspace{20pt}\)\(\large\lbrace\)\({\small sin}\pi{\small\,=\,}0,\) \({\small sin}0{\small\,=\,}0\) ☜ \(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/cosine-trigonometric-ratio/}{\color{teal}\small\textsf{余弦($cos$),$\,$正弦($sin$),$\,$正接($tan$)の三角比}}\)\(\large\rbrace\)
積分の漸化式
定積分の漸化式の基本
\(\large I\tiny n\)\({\scriptsize\;=\,}\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{n}x\,dx\) の漸化式
\(\hspace{7pt}{\scriptsize\;=\,}\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{1}x\cdot sin^{n-1}\,dx\)\(\hspace{20pt}\)\(\lbrace\)\(\small sin^{1}x\times sin^{n-1}\)\(\small{\scriptsize\,=\,}sin^{1+(n-1)}\) ☜\(\hspace{5pt}\)\(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/exponents-and-logarithms/#指数法則}{\color{teal}\textsf{指数法則}}\)を参照。\(\rbrace\)
\(\hspace{7pt}{\scriptsize\;=\;}\)\({\large\lbrack}{\,-cos{x}\,sin^{n-1}{x}}{\large\rbrack}_{\scriptsize\, 0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\({\;-\;}{\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{-cos}{x}\,{(n-1) sin^{n-2}}{x}\,{cos}{x}\,{dx}\)
\(\hspace{20pt}\) \(\lbrace\)被積分関数が同じ変数\(x\)の合成関数の微分になるので、\(\href{#部分積分}{\color{teal}\textsf{部分積分}}\)をする。また、\(sin^{n-1}x\) の \(sin\,x\) を \(u\) と置くと \(u^{n-1}\) となるので \((u^{n-1})^{\prime}{\small\;=\,}{(n-1) u^{n-2}}{x}\,(u)^{\prime}\)。微分は関数の微分公式の特殊基本関数を参照。\(\rbrace\)
\(\hspace{7pt}{\small\;=\;}\)\(0\)\({\;+\;}(n{\small\,-\,}1)\left(I{\tiny n\!-\!2}{\small\;-\;}{I\tiny n}\right)\)\({\;-\;}{\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{-cos}{x}\,{(n-1) sin^{n-2}}{x}\,{cos}{x}\,{dx}\)
\(\hspace{20pt}\) \(\lbrace\)\({\large\lbrack}{\,-cos{x}\,sin^{n-1}{x}}{\large\rbrack}_{\scriptsize\, 0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\(\small\,=\,\)\(\left(-cos{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}\,sin^{n-1}{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}\right){\small\,-\,}\left({\,-cos{0}\,sin^{n-1}{0}}\right)\)\(\small\,=\,\)\(({\small\,-\,}0\cdot 1)\)\({\small\,-\,}({\small\,-\,}1\cdot 0){\small\,=\,}0\)\(\hspace{20pt}\) \(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/cosine-trigonometric-ratio/#三角比の表}{\color{teal}\textsf{三角比の表}}\)を参照。\(\rbrace\)
\(\hspace{7pt}{\small\;=\;}(n-1){\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{sin^{n-2}}{x}\,{cos^{2}}{x}\,{dx}\)
\(\hspace{7pt}{\small\;=\;}(n-1){\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{sin^{n-2}}{x}\,(1-sin^{2}{x})\,{dx}\)
\(\hspace{7pt}{\small\;=\;}(n-1){\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{sin^{n-2}}{x}\,-sin^{n}{x}\,{dx}\)\({\small\;=\;}(n-1){\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{sin^{n-2}}{x}\,{dx}\)\({\small\;+\,}{\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{sin^{n}}{x}\,{dx}\)
\(\hspace{7pt}{\small\;=\;}(n{\small\,-\,}1)\left({I\tiny n\,-\,2}{\small\,-\,}{I\tiny n}\right)\)
\(\hspace{7pt}\)\({I\tiny n}{\small\;=\;}{\small(n-1)}{I\tiny n\!-\!2}{\small\,-\,}{\small(n-1)}{I\tiny n}\)\({\small\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}}{\small(n{\small\,-\,}1)}{I\tiny n}{\small\,+\,}{\color{gray}(1)}{I\tiny n}{\small\;=\;}{\small(n-1)}{I\tiny n\!-\!2}\)\({\small\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}}n{I\tiny n}{\small\;=\;}{\small(n-1)}{I\tiny n\!-\!2}\)
\(\hspace{7pt}\) \(\therefore\hspace{10pt}{I\tiny n}{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}{I}\tiny n\!-\!2{\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}\!\normalsize\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{n-2}x\,dx\)
\(\large I\tiny n\)\({\scriptsize\;=\,}\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{n}x\,dx\) の漸化式
\(\hspace{7pt}{\scriptsize\;=\,}\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{1}x\cdot cos^{n-1}\,dx\)
\(\hspace{7pt}{\scriptsize\;=\,}\)\({\large\lbrack}{\,sin{x}\,cos^{n-1}{x}}{\large\rbrack}_{\scriptsize\, 0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\({\;-\;}{\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}}{sin}{x}\,{(n-1) cos^{n-2}}{x}\,{sin}{x}\,{dx}\)
\(\hspace{7pt}{\scriptsize\;=\;}\)\(0\)\({\small\;+\;}(n{\small\,-\,}1)\left({I\tiny n\!-\!2}{\small\,-\,}{I\tiny n}\right)\)
\(\hspace{7pt}\) \({I\tiny n}{\small\;=\;}{\small(n-1)}{I\tiny n\!-\!2}{\small\,-\,}{\small(n-1)}{I\tiny n}\)\({\small\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}}{\small(n-1)}{I\tiny n}{\small\,+\,}{\color{gray}(1)}{I\tiny n}{\small\;=\;}{\small(n-1)}{I\tiny n\!-\!2}\)\({\small\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}}n{I\tiny n}{\small\;=\;}{\small(n-1)}{I\tiny n\!-\!2}\)
\(\hspace{7pt}\) \(\therefore\hspace{10pt}{I\tiny n}{\small\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}{I}\tiny n\!-\!2\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}\!\normalsize\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{n-2}x\,dx\)
\(\large I\tiny n\)\({\scriptsize\;=\,}\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{4}}tan^{n}x\,dx\) の漸化式
\(\)\(\hspace{20pt}\) \(\lbrace\)\(tan\,{x}\) の積分範囲の上端が \(\small\displaystyle\frac{\pi}{2}\) では \(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/cosine-trigonometric-ratio/#三角比の表}{\color{teal}\textsf{“解なし”}}\) になってしまうので、とりあえず \(\small\displaystyle\frac{\pi}{4}\) とする。\(\rbrace\)
\(\hspace{7pt}{\small\;=\;}\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{4}}tan^{2}x\cdot tan^{n-2}x\,dx\)
\(\hspace{20pt}\) \(\lbrace\)\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/extension-trigonometric-ratios/#三角比の相互関係式}{\color{teal}\textsf{三角比の相互関係式}}\)から以下の式変形を導くために積分関数 \(tan\,{x}\) の指数部を \(2\) と \(n\!-\!2\) に分ける。\(\rbrace\)
\(\hspace{7pt}{\small\;=\;}\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{4}}\left({\small\displaystyle\frac{1}{cos^{2}x}\,-\,}1\right)\cdot tan^{n-2}x\,dx\)\({\small\;=\;}\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\underline{{\small\displaystyle\frac{1}{cos^{2}x}}\, tan^{n-2}x}}\;{\small\,-\,}tan^{n-2}x\,dx\)
\(\hspace{20pt}\) \(\lbrace\)とりあえず被積分関数を展開する。それで、アンダーラインの式は\(tan\,{x}\)の微分係数が\({\small\displaystyle\frac{1}{cos^{2}x}}\)なので、積分の公式の特殊基本関数に該当する。\(\rbrace\)
\(\hspace{7pt}{\small\;=\;}{\Large\lbrack}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{n-1}}\,tan^{n-1}x{\Large\rbrack}_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\small\;-\;}{I\tiny n\,-\,2}\)\({\small\;=\;}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{n-1}}{\small\;-\;}{I\tiny n\!-\!2}\)
\({\hspace{5pt}\therefore\hspace{10pt}}{I\tiny n}\)\({\small\;=\;}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{n-1}}{\small\;-\;}{I\tiny n\!-\!2}\)\({\small\hspace{5pt}=\hspace{5pt}}{\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}{\small\;-\;}\normalsize\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{4}}tan^{n-2}x\,dx\)
定積分の漸化式を\(2\)重階乗で表記
まずは、\(2\)重\(\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/permutation-combination/#順列}{\color{teal}\textsf{階乗}}\)の概要
\(n{\small!!}{\small\;=\;}\)\(\left\{\begin{array}{l}\scriptsize{n\times(n-2)\times(n-4)\times(n-6)\times\cdots\times6\times4\times2{\color{#c0c0c0}\,\times\, 0}}\hspace{10pt}\small{\textsf{$n$が偶数の場合}} \\ \scriptsize{n\times(n-2)\times(n-4)\times(n-6)\times\cdots\times5\times3{\color{#c0c0c0}\,\times\, 1}}\hspace{10pt}\small{\textsf{$n$が奇数の場合}}\end{array}\right.\)
次に、上述の\(\href{#定積分の漸化式の基本}{\color{teal}\textsf{定積分の漸化式の基本}}\)から
\(I{\tiny n}\)\({\small\;=\;}\)\(\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{n}x\,dx\)\({\small\;=\;}\)\(\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{n}x\,dx\)\(\hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt}\)\(I\tiny n{\small\;=\;}\)\({\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}I{\tiny n-2}\)\(\color{#dcdcdc}{\small\;=\;}{\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}\!\normalsize\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{n-2}x\,dx\)\(\, ,\)\(\hspace{10pt}\)\(I{\tiny n}\)\({\small\;=\;}{\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}I{\tiny n-2}\)\(\color{#dcdcdc}{{\small\;=\;}\scriptsize\displaystyle\frac{n-1}{n}}\!\normalsize\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{n-2}x\,dx\)
と定義すると、積分の漸化式は\(2\)重階乗で表すことができ、
\(I{\tiny n}{\small\;=\;}\) \(\left\{\begin{array}{l}\scriptsize{\displaystyle\frac{\pi}{2}}\cdot\scriptsize{\displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}}\hspace{10pt}\small{\textsf{$n$が偶数の場合}} \\ 1\cdot\scriptsize{\displaystyle\frac{(n-1)!!}{n!!}}\hspace{10pt}\small{\textsf{$n$が奇数の場合}}\end{array}\right.\)
となる。
念のため確認してみよう。
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{0}x\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}\)\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}1\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}x{\Large\rbrack}_{\scriptsize\:0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\({\small\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\small\;-\;}{\small 0}{\Large\rbrack}\)\({\small\;=\;}{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{0}x\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}\)\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}1\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}x{\Large\rbrack}_{\scriptsize\:0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\({\small\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\small\;-\;}{\small 0}{\Large\rbrack}\)\({\small\;=\;}{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{1}x\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{{\scriptsize -}cos{x}}{\Large\rbrack}_{\scriptsize\:0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{cos({\pi{\scriptsize -}x})}{\Large\rbrack}_{\scriptsize\:0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{cos({\pi{\scriptsize -}{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}}){\scriptsize\,-\,}\left\{cos({\pi{\scriptsize\, -\,}{\small 0}})\right\}}{\Large\rbrack}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{cos({\pi{\scriptsize -}{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}}){\scriptsize\,-\,}\left\{cos({\pi{\scriptsize\, -\,}{\small 0}})\right\}}{\Large\rbrack}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{cos({\pi{\scriptsize -}{\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}}){\scriptsize\,-\,}\left\{cos({\pi{\scriptsize\, -\,}{\small 0}})\right\}}{\Large\rbrack}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{cos({\scriptsize\displaystyle\frac{\pi}{2}}){\scriptsize\,-\,}\left\{cos({\pi})\right\}}{\Large\rbrack}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{\small 0}{\small\;-\;}({\small -1}){\Large\rbrack}\)\({\small\;=\;}{\small 1}\)
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{1}x\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{sin{x}}{\Large\rbrack}_{\scriptsize\:0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}sin{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\scriptsize\,-\,}sin{\small 0}{\Large\rbrack}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\Large\lbrack}{\small 1}{\scriptsize\,-\,}{\small 0}{\Large\rbrack}\)\({\scriptsize\;=\;}{\small 1}\)
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{2}x\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\LARGE\lbrack}\)\(\color{red}\underline{\color{black}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}x{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{1}{4}}sin2{x}}\)\({\LARGE\rbrack}_{\scriptsize\:0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)
三角関数の積分\(\,\rm{I}\hspace{-1.2pt}I\hspace{-1.2pt}I\hspace{5pt}\)\(\;\)\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/trigonometric-calculus/#2乗の不定積分公式}{\color{teal}\textsf{$2$乗の不定積分公式}}\) を参照。
\({\scriptsize\;=\;}\)\({\LARGE\lbrack}\left({\small\displaystyle\frac{1}{2}}\cdot {\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{1}{4}}\cdot \color{red}\underline{\color{black}{2sin{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}}}\color{black}\right){-}\left({\small\displaystyle\frac{1}{2}}\cdot 0{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{1}{4}}\cdot 0\right){\LARGE\rbrack}\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\LARGE\lbrack}\left({\small\displaystyle\frac{\pi}{4}}{\small\,-\,}{\small\displaystyle\frac{1}{4}}\cdot 2\cdot 1 \cdot 0\right){-}0{\LARGE\rbrack}{\scriptsize\;=\;}\)\({\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\(\cdot{\small\displaystyle\frac{1}{2}}\)
\(sin2x{\small\;=\;}2sinxcosx\)\(\hspace{10pt}\)☜\(\hspace{5pt}\)\(\href{https://showanojoe.com/template-math/trigonometric-function/kastatutory-law/#2倍角の公式}{\color{teal}\textsf{加法定理から$2$倍角の公式}}\) を参照。
\(\small\rightarrow\;\)\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{2}x\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}\)\({\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}\)\(\cdot{\small\displaystyle\frac{1}{2}}\)
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{3}x\,dx\)\(\scriptsize\;=\;\)\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}sin^{2}x\,sinx\,dx\)\(\scriptsize\;=\;\)\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}(1-cos^{2}x)\,sinx\,dx\)
\(cosx\) を \(u{\small\,=\,}cosx\) と置いて \(\small\displaystyle\frac{du}{dx}\) の\(\href{#置換積分}{\color{teal}\textsf{置換積分}}\)に式変形する。
\(\scriptsize\;=\;\)\(\color{lightgray}\xcancel{\color{black}{\small-\displaystyle\int_{1}^{0}(1-u^{2})\,1\,du}}\)
まずは \(-1\) を係数として繰り出す。それで、積分区間を \({\small x:0\,\mapsto\,x:{\small\displaystyle\frac{\pi}{2}}}\) から \(u:1\,\mapsto\,u:0\) に変換。としたところが、あいにく 「\(\;1{\small\;\leqq\;}u{\small\;\leqq\;}0\;\)」 となる積分区間表示はないので\(\href{#定積分の式変形}{\color{teal}\textsf{定積分の式変形}}\)から \(-\)符号 をつけて「 \(\;0{\small\;\leqq\;}u{\small\;\leqq\;}1\;\)」 に区間表示修正する。
\(\scriptsize\;=\;\)\({\small{\color{red}-}-\displaystyle\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,1\,du}\)\(\scriptsize\;=\;\)\({\small\displaystyle\int_{0}^{1}(1-u^{2})\,du}\)\(\scriptsize\;=\;\)\({\LARGE\lbrack}\left(u{\small-}{\small\displaystyle\frac{1}{3}}u^{3}\right)-\left(u{\small-}{\small\displaystyle\frac{1}{3}}u^{3}\right){\LARGE\rbrack}_{0}^{1}\)
\(\scriptsize\;=\;\)\({\LARGE\lbrack}\left(1{\small-}{\small\displaystyle\frac{1}{3}}\cdot 1\right)-{\small 0}{\LARGE\rbrack}\)\(\scriptsize\;=\;\)\(1\cdot{\small\displaystyle\frac{2}{3}}\)
\(\small\rightarrow\;\)\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}cos^{3}x\,dx\)\({\scriptsize\;=\;}1\cdot{\small\displaystyle\frac{2}{3}}\)
\(\small\displaystyle\int_{0}^{\tiny\displaystyle\frac{\pi}{2}}csin^{4}x\,dx\)
以上の計算確認から、積分の漸化式の定義は\(2\)重階乗に適っていることが解る。