行列式の定義

行列式の定義

\(\textsf{行列式は正方行列に対して定義される。}\hspace{30pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{正方行列は行要素と列要素が同数の行列である。} \\ \small\textsf{行要素$n$個、列要素$n$個の正方行列$A$を$A^{n}$と表記し、$n$次正方行列$A$という。}\end{array}\right\}\)

\[det(A^{n})=\begin{vmatrix}{\large}a{\tiny 11} & {\large}a{\tiny 12} & \ldots & {\large}a{\tiny 1n} \\ {\large}a{\tiny 21} & {\large}a{\tiny 22} & \ldots & {\large}a{\tiny 2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\{\large}a{\tiny n1} & {\large}a{\tiny n2} & \ldots & {\large}a{\tiny nn}\end{vmatrix}=\underset{\textsf{②③}}{\overset{\overset{\Large\textsf{①}}{\phantom{a}}}{\underset{\sigma\in \mathfrak{S}\tiny n}{\huge\varSigma}}}\overset
{\textsf{④}}{sgn(\sigma)}\,\color{lightgray}\overbrace{\color{black}{A\tiny 1}\sigma{\small(1)}
\,{\color{lightgray}\small +}{A\tiny 2}\sigma{\small(2)}\,{\color{lightgray}\small +}{A\tiny 3}\sigma{\small(3)}\,{\color{lightgray}\small +}\,\cdots \,
{\color{lightgray}\small +}{A\tiny n}\sigma{\small(n)}}^{\color{black}\large\textsf{⑤}}\]

\(\begin{array}{l}\textsf{定}\\[-10pt] \textsf{義}\\[-10pt] \textsf{の} \\[-10pt] \textsf{解} \\[-10pt] \textsf{説}\end{array}\left\{\begin{array}{l}\textsf{①}\hspace{10px}{\Large\varSigma}
\hspace{5pt}\textsf{は総和の表記} \\[10pt] \textsf{②}\hspace{10pt}\sigma\small\textsf{(シグマ)}\hspace{5pt}\textsf{は置換の表記}\left\{\begin{array}{l}\textsf{$\href{https://showanojoe.com/template-math/linear-algebra/linear-transformation/#置換}{\textsf{置換}}$は行列式の内部構造である。} \\[5pt] \textsf{置換は }\left\{1,2,3,\cdots,
n\right\}\textsf{と}\left\{1,2,3,\cdots,n\right\}\textsf{の同じ二組の自然数の集合をとる。} \\ \hspace{10pt}\textsf{それぞれの要素を上下に配列して$\alpha, \beta$とした場合$\tiny\left(\begin{array}{l}\alpha={1,2,3,\cdots,n} \\ \beta={1,2,3,\cdots,n}\end{array}\right)$、$\alpha$のすべての元(要素)が} \\ \hspace{10pt}\textsf{$\beta$のすべての元と一対一(全単射)の写像となる。} \\[5pt] \color{red}\underline{\color{black}{\textsf{$\alpha$ 対 $\beta$の全単射のすべての置換は $\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/permutation-combination/#順列}{\textsf{$n!$ 通り}}$ ある。}}} \end{array}
\right\} \\[10pt] \textsf{③}\hspace{10px}\mathfrak{S}{\tiny n} \hspace{10pt}\left\{\textsf{その${\color{red}\underline{\color{black}\textsf{行列の次元(置換の列数)を表す $n$ }}}$と、置換すべての集合$(\textsf{対称群})$ を表す$\large\mathfrak{S} ({\small\textsf{エスと読む}})$。}\right\} \\[10pt] \textsf{④}\hspace{10pt}sgn(\sigma)
\hspace{5pt}\textsf{置換の符号}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{偶置換(置換の回数が偶数回)で $1$ の符号。} \\ \small\textsf{奇置換(置換の回数が奇数回)で$-1$ の符号。}\end{array}\right\}\hspace{5pt}\small\textsf{ちなみに$sgn$は$sign(\textsf{符号})$の略記でサインと読む。} \\[10pt] \textsf{⑤}
\hspace{10pt}{A\tiny 1}\sigma{\small(1)}{\color{lightgray}\small +}{A\tiny 2}\sigma{\small(2)}\,{\color{lightgray}\small +}{A\tiny 3}\sigma{\small(3)}\,{\color{lightgray}\small +}\,\cdots
\,{\color{lightgray}\small +}{A\tiny n}\sigma{\small(n)}\hspace{5pt}\left\{\begin{array}{l}{A\tiny n}\textsf{は置換の行の順番号に相当する。} \\ \sigma(n)\textsf{は置換の列の順番号に相当する。}\end{array}\right\}\end{array}\right.\)

\(n{\small\,=\,}2({\small 2\times2})\)の正方行列の行列式

\(\begin{array}{l}\hspace{120pt}\begin{eqnarray}A^{2}=\left[\begin{array}{cc}a_{\scriptsize 11} & a_{\scriptsize 12} \\ a_{\scriptsize 21} & a_{\scriptsize 22} \end{array}\right]\end{eqnarray}\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}det(A^{2}){\small\,=\,}\large a_{\scriptsize 11} a_{\scriptsize 22} {\small\,-\,}a_{\scriptsize 12} a_{\scriptsize 21} \\[30pt]\textsf{行列式の定義にあてはめると、} \\[5pt]\textsf{${det(A^{2})}=\underset{\sigma\in \mathfrak{S}\tiny n}{\huge\varSigma}{sgn(\sigma)}\,{A\tiny 1}\sigma{\small(1)}{A\tiny 2}\sigma{\small(2)}\:\Rightarrow\:\left\{\begin{array}{l}sgn(\sigma)\textsf{は ${\small\begin{pmatrix}1&2 \\ 1&2\end{pmatrix}}\textsf{で $1$(置換回数$0$の偶置換) の符号、}\:{\small\begin{pmatrix}1&2 \\ 2&1
\end{pmatrix}}$} \\ \hspace{10pt}\textsf{で $-1$(置換回数$1$の奇置換)の符号。} \\[10pt] {A\tiny 1}\sigma{\small(1)}{A\tiny 2}\sigma{\small(2)}\textsf{ は $A{\tiny{11}}\,A{\tiny{22}}\:{\scriptsize +}\,A{\tiny{12}}\,A{\tiny{21}}$}\end{array}\right\}$} \\[10pt]\hspace{10pt}\textsf{したがって $A{\tiny{11}}\,A{\tiny{22}}\:{\scriptsize -}\,A{\tiny{12}}\,A{\tiny{21}}$ となる。} \\[10pt]\textsf{置換の元$A$を行列の要素$\large a$に変換して、$n{\small\,=\,}2$の行列式$det(A^{2})=\enclose{roundedbox}{\large a{\tiny{11}}\,\large a{\tiny{22}}\:{\scriptsize -}\,\large a{\tiny{12}}\,\large a{\tiny{21}}}$ ということになる。}\end{array}\)

\[\class{Boldfont}{\textsf{$det(A^{2})$の値が意味するもの}}\]

\(n{\small\,=\,}3({\small 3\times3})\)以上の正方行列の行列式

\(\begin{array}{l}\begin{eqnarray}A^{3}=\left[\begin{array}{ccc}a_{\scriptsize 11} & a_{\scriptsize 12} & a_{\scriptsize 13}\\ a_{\scriptsize 21} & a_{\scriptsize 22} & a_{\scriptsize 23} \\ a_{\scriptsize 31} & a_{\scriptsize 32} & a_{\scriptsize 33}\end{array}\right]\end{eqnarray}\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}det(A^{3}){\small\,=\,}\large a_{\scriptsize 11} a_{\scriptsize 22} a_{\scriptsize 33}{\small\,+\,}a_{\scriptsize 12} a_{\scriptsize 23} a_{\scriptsize 31}{\small\,+\,}a_{\scriptsize 13} a_{\scriptsize 21} a_{\scriptsize 32}{\small\,-\,}a_{\scriptsize 11} a_{\scriptsize 23} a_{\scriptsize 32}{\small\,-\,}a_{\scriptsize 12} a_{\scriptsize 21} a_{\scriptsize 33}{\small\,-\,}a_{\scriptsize 13} a_{\scriptsize 22} a_{\scriptsize 31} \\[15pt]\textsf{$n{\small\,=\,}3$の正方行列の行列式では$n{\small\,=\,}(1,\,2,\,3)$となり、その置換は $3!{\small\,=\,}6$ で$6$通りあるので上記の$6$つの項となる。} \\ \hspace{10pt}\textsf{同様に$n{\small\,=\,}4$の正方行列の行列式では$4$つの成分の積に$4!$個の項、} \\ \hspace{20pt}\textsf{$n{\small\,=\,}5$の正方行列の行列式では$5$つの成分の積に$5!$個の項となる。} \\[20pt]\textsf{$A^{3}$行列の行列式の定義$\hspace{10pt}{det(A^3)}=\underset{\sigma\in \Bbb{S}\tiny n}{\huge\varSigma}{sgn(\sigma)}\,{A\tiny 1}\sigma{\small(1)}\,{A\tiny 2}\sigma{\small(2)}\,{A\tiny 3}\sigma{\small(3)}$} \end{array}\)

\(\Rightarrow\:\left\{\begin{array}{l}sgn(\sigma)\textsf{は ${\small\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 1&2&3\end{pmatrix}}\textsf{で $1$(置換回数$0$の偶置換
) の符号},\:\:{\small\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 1&3&2\end{pmatrix}}$ で $-1$(置換回数$1$の奇置換)の符号} \\[5pt] \hspace{40pt}\textsf{${\small\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 2&1&3\end{pmatrix}}\textsf{で $1$
(置換回数$2$の偶置換) の符号},\:{\small\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 2&3&1\end{pmatrix}}$ で $-1$(置換回数$3$の奇置換)の符号} \\[5pt]\hspace{40pt} \textsf{${\small\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 3&1&2\end{pmatrix}}
\textsf{で $1$(置換回数$4$の偶置換) の符号},\:\:{\small\begin{pmatrix}1&2&3 \\ 3&2&1\end{pmatrix}}$ で $-1$(置換回数$5$の奇置換)の符号} \\[10pt] {A\tiny 1}\sigma{\small(1)}{A\tiny 2}\sigma{\small(2)}{A\tiny 3}\sigma{\small(3)}\textsf{ は }A{\tiny{11}}\,A{\tiny{22}}\,A{\tiny{33}}\:{\scriptsize +}A{\tiny{11}}\,A{\tiny{23}}\,A{\tiny{32}}\:{\scriptsize +}\,A{\tiny{12}}\,A{\tiny{21}}\,A{\tiny{33}}\:{\scriptsize +}A{\tiny{12}}\,A{\tiny{23}}\,A{\tiny{31}}\:{\scriptsize +}\,A{\tiny{13}}\,A{\tiny{21}}\,
A{\tiny{32}}\:\:{\scriptsize +}\,A{\tiny{13}}\,A{\tiny{22}}\,A{\tiny{31}} \end{array} \right\}\)

\(\begin{array}{l}\textsf{したがって 、$A{\tiny{11}}\,A{\tiny{22}}\,A{\tiny{33}}\:{\scriptsize -}A{\tiny{11}}\,
A{\tiny{23}}\,A{\tiny{32}}\:{\scriptsize -}{\color{red}\underline{\scriptsize{\color{black}{\textsf{($+$$-$で$-$)}}}}}\,A{\tiny{12}}\,A{\tiny{21}}\,
A{\tiny{33}}\:{\scriptsize +}{\color{red}\underline{\scriptsize{\color{black}{\textsf{($-$$-$で$+$)}}}}}A{\tiny{12}}\,A{\tiny{23}}\,A{\tiny{31}}\:{\scriptsize +}\,A{\tiny{13}}\,A{\tiny{21}}\,A{\tiny{32}}\:\:{\scriptsize -}\,A{\tiny{13}}\,A{\tiny{22}}\,
A{\tiny{31}}$となる。} \\[5pt] \textsf{行列式において、$sgn(\sigma)$の符号は断続的ではなく連続$(\textsf{$\color{red}\underline{\phantom {aaa}}$の箇所})$していることに注意。} \\[20pt]\textsf{置換の元$A$を行列の要素$\large a$に変換して、} \\[10pt] \hspace{10pt}\textsf{行列式}det(A^3)=\enclose{roundedbox}{\large{a{\tiny{11}}\:a{\tiny{22}}\:a{\tiny{33}}\:{\scriptsize +}\:a{\tiny{12}}\:a{\tiny{23}}\:a{\tiny{31}}\:{\scriptsize +}\:a{\tiny{13}}\:a{\tiny{21}}\:a{\tiny{32}}\:{\scriptsize -}\:a{\tiny{13}}\:a{\tiny{22}}\:a{\tiny{31}}\:{\scriptsize -}\:a{\tiny{12}}\:a{\tiny{21}}\:a
{\tiny{33}}\:{\scriptsize -}\:a{\tiny{11}}\:a{\tiny{23}}\:a{\tiny{32}}}}\end{array}\)

\[\class{Boldfont}{\textsf{$det(A^{3})$の値が意味するもの}}\]

\(\begin{array}{l}\textsf{図$2$から、$\begin{eqnarray}A^{3}=\left[\begin{array}{ccc}a_{\scriptsize 11} & a_{\scriptsize 12} & a_{\scriptsize 13}\\ a_{\scriptsize 21} & a_{\scriptsize 22} & a_{\scriptsize 23} \\ a_{\scriptsize 31} & a_{\scriptsize 32} & a_{\scriptsize 33}\end{array}\right]\end{eqnarray}$ は ${\color{red}{v{\tiny 1}}}{\small\,=\,}{\left[\begin{array}{c}a_{\scriptsize 11} \\ a_{\scriptsize 21} \\ a_{\scriptsize 31}\end{array}\right]},\hspace{5pt}{\color{red}{v{\tiny 2}}}{\small\,=\,}{\left[\begin{array}{c}a_{\scriptsize 12} \\ a_{\scriptsize 22} \\ a_{\scriptsize 32}\end{array}\right]},\hspace{5pt}{\color{red}{v{\tiny 3}}}{\small\,=\,}{\left[\begin{array}{c}a_{\scriptsize 31} \\ a_{\scriptsize 32} \\ a_{\scriptsize 33}\end{array}\right]}$ に分割できる。}\end{array}\)

定義以外の行列式の解法

\[\class{Boldfont}{\textsf{サラスの公式}}\]

\(\textsf{行列$A=\left[\begin{array}{ccc}a{\tiny{11}}&a{\tiny{12}}&a{\tiny{13}} \\ a{\tiny{21}}&a{\tiny{22}}&a{\tiny{23}} \\ a{\tiny{31}}&a{\tiny{32}}&a{\tiny{33}}\end{array}\hspace{0pt}\right]$} \hspace{10pt}\Rightarrow\hspace{10pt} \begin{array}{l}{\left[\begin{array}{ccc}{\color{red}a{\tiny{11}}}&{\color{gold}a{\tiny{12}}}&{\color{blue}a{\tiny{13}}} \\ {\color{blue}a{\tiny{21}}}&{\color{red}a{\tiny{22}}}&{\color{gold}a{\tiny{23}}} \\ {\color{gold}a{\tiny{31}}}&{\color{blue}a{\tiny{32}}}&{\color{red}a{\tiny{33}}}\end{array}\hspace{0pt}\right]\hspace{15pt}\begin{array}{l}~&\color{red}a{\tiny{11}}&\color{red}a{\tiny{22}}&\color{red}a{\tiny{33}} \\ +&\color{gold}a{\tiny{12}}&\color{gold}a{\tiny{23}}&\color{gold}a
{\tiny{31}} \\ +&\color{blue}a{\tiny{13}}&\color{blue}a{\tiny{21}}&\color{blue}a{\tiny{32}}\end{array}}\hspace{30pt}\left\{\small\textsf{要素の色をたどって左たすき掛け}\right\}\\[20pt]{\left[\begin{array}{ccc}{\color{blue}a{\tiny{11}}}&{\color{gold}a{\tiny{12}}}&{\color{red}a{\tiny{13}}} \\ {\color{gold}a{\tiny{21}}}&{\color{red}a{\tiny{22}}}&{\color{blue}a{\tiny{23}}} \\ {\color{red}a{\tiny{31}}}&{\color{blue}a{\tiny{32}}}&{\color{gold}a{\tiny{33}}}\end{array}\hspace{0pt}\right]\hspace{15pt}\begin{array}{l}-&\color
{red}a{\tiny{13}}&\color{red}a{\tiny{22}}&\color{red}a{\tiny{31}} \\ -&\color{gold}a{\tiny{12}}&\color{gold}a
{\tiny{21}}&\color{gold}a{\tiny{33}} \\ -&\color{blue}a{\tiny{11}}&\color{blue}a{\tiny{23}}&\color{blue}a{\tiny{32}}\end{array}}\hspace{30pt}\left\{\small\textsf{要素の色をたどって右たすき掛け}\right\} \end{array}\)

\[\class{Boldfont}{\textsf{余因子展開}}(\textsf{行列式の展開})\class{Boldfont}{\textsf{による解法}}\]

\(\href{https://showanojoe.com/template-math/linear-algebra/unfold-matrix-expressions/}{\textsf{行列式の展開}}\textsf{を参照。}\)