行列式の定義

行列式の定義

$\mathsf{\text{行列式は正方行列に対して定義される。}}\left\{\begin{array}{l}\mathsf{\text{正方行列は行要素と列要素が同数の行列である。}}\\ \mathsf{\text{行要素}}n\mathsf{\text{個、列要素}}n\mathsf{\text{個の正方行列}}A\mathsf{\text{を}}{A}^n\mathsf{\text{と表記し、}}n\mathsf{\text{次正方行列}}A\mathsf{\text{という。}}\end{array}\right\}$

$$det(A^n)=\left|\begin{array}{cccc}a11& a12& \dots & a1n\\ a21& a22& \dots & a2n\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ an1& an2& \dots & ann\end{array}\right|=\underset{\mathsf{\text{②③}}}{\stackrel{\stackrel{\mathsf{\text{①}}}{\phantom{a}}}{\underset{\sigma \in \mathfrak{S}n}{\Sigma }}}\stackrel{\mathsf{\text{④}}}{sgn(\sigma )}\stackrel{\mathsf{\text{⑤}}}{\overbrace{A1\sigma (1)+A2\sigma (2)+A3\sigma (3)+\cdots +An\sigma (n)}}$$

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{定}}\\ \mathsf{\text{義}}\\ \mathsf{\text{の}}\\ \mathsf{\text{解}}\\ \mathsf{\text{説}}\end{array}\{\begin{array}{l}\mathsf{\text{①}}\Sigma \mathsf{\text{は総和の表記}}\\ \mathsf{\text{②}}\sigma \mathsf{\text{(シグマ)}}\mathsf{\text{は置換の表記}}\left\{\begin{array}{c}\mathsf{\text{置換}}\mathsf{\text{は行列式の内部構造である。}}\\ \mathsf{\text{置換は }}\{1,2,3,\cdots ,n\}\mathsf{\text{と}}\{1,2,3,\cdots ,n\}\mathsf{\text{の同じ二組の自然数の集合をとる。}}\\ \mathsf{\text{それぞれの要素を上下に配列して}}\alpha ,\beta \mathsf{\text{とした場合}}\left(\begin{array}{c}\alpha =1,2,3,\cdots ,n\\ \beta =1,2,3,\cdots ,n\end{array}\right)\mathsf{\text{、}}\alpha \mathsf{\text{のすべての元(要素)が}}\\ \beta \mathsf{\text{のすべての元と一対一(全単射)の写像となる。}}\\ \underset{―}{\alpha \mathsf{\text{ 対 }}\beta \mathsf{\text{の全単射のすべての置換は }}n!\mathsf{\text{ 通り}}\mathsf{\text{ ある。}}}\end{array}\right\}\\ \mathsf{\text{③}}\mathfrak{S}n\left\{\mathsf{\text{その}}\underset{―}{\mathsf{\text{行列の次元(置換の列数)を表す }}n}\mathsf{\text{と、置換すべての集合}}(\mathsf{\text{対称群}})\mathsf{\text{ を表す}}\mathfrak{S}(\mathsf{\text{エスと読む}})\mathsf{\text{。}}\right\}\\ \mathsf{\text{④}}sgn(\sigma )\mathsf{\text{置換の符号}}\left\{\begin{array}{c}\mathsf{\text{偶置換(置換の回数が偶数回)で }}1\mathsf{\text{ の符号。}}\\ \mathsf{\text{奇置換(置換の回数が奇数回)で}}-1\mathsf{\text{ の符号。}}\end{array}\right\}\mathsf{\text{ちなみに}}sgn\mathsf{\text{は}}sign(\mathsf{\text{符号}})\mathsf{\text{の略記でサインと読む。}}\\ \mathsf{\text{⑤}}A1\sigma (1)+A2\sigma (2)+A3\sigma (3)+\cdots +An\sigma (n)\left\{\begin{array}{c}An\mathsf{\text{は置換の行の順番号に相当する。}}\\ \sigma (n)\mathsf{\text{は置換の列の順番号に相当する。}}\end{array}\right\}\end{array}$

$n=2(2\times 2)$の正方行列の行列式

$\begin{array}{l}\begin{array}{r}{A}^2=\left[\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{21}& a_{22}\end{array}\right]\end{array}\to det(A^2)=a_{11}{a}_{22}-a_{12}{a}_{21}\\ \mathsf{\text{行列式の定義にあてはめると、}}\\ det(A^2)=\underset{\sigma \in \mathfrak{S}n}{\Sigma }sgn(\sigma )A1\sigma (1)A2\sigma (2)\Rightarrow \left\{\begin{array}{c}sgn(\sigma )\mathsf{\text{は }}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 2\end{array}\right)\mathsf{\text{で }}1\mathsf{\text{(置換回数}}0\mathsf{\text{の偶置換) の符号、}}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\\ \mathsf{\text{で }}-1\mathsf{\text{(置換回数}}1\mathsf{\text{の奇置換)の符号。}}\\ A1\sigma (1)A2\sigma (2)\mathsf{\text{ は }}A11A22+A12A21\end{array}\right\}\\ \mathsf{\text{したがって }}A11A22-A12A21\mathsf{\text{ となる。}}\\ \mathsf{\text{置換の元}}A\mathsf{\text{を行列の要素}}a\mathsf{\text{に変換して、}}n=2\mathsf{\text{の行列式}}det(A^2)=\boxed{a11a22-a12a21}\mathsf{\text{ ということになる。}}\end{array}$

$$det(A^2)\mathsf{\text{の値が意味するもの}}$$

$n=3(3\times 3)$以上の正方行列の行列式

$\begin{array}{l}\begin{array}{r}{A}^3=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\end{array}\to det(A^3)=a_{11}{a}_{22}{a}_{33}+a_{12}{a}_{23}{a}_{31}+a_{13}{a}_{21}{a}_{32}-a_{11}{a}_{23}{a}_{32}-a_{12}{a}_{21}{a}_{33}-a_{13}{a}_{22}{a}_{31}\\ n=3\mathsf{\text{の正方行列の行列式では}}n=(1,2,3)\mathsf{\text{となり、その置換は }}3!=6\mathsf{\text{ で}}6\mathsf{\text{通りあるので上記の}}6\mathsf{\text{つの項となる。}}\\ \mathsf{\text{同様に}}n=4\mathsf{\text{の正方行列の行列式では}}4\mathsf{\text{つの成分の積に}}4!\mathsf{\text{個の項、}}\\ n=5\mathsf{\text{の正方行列の行列式では}}5\mathsf{\text{つの成分の積に}}5!\mathsf{\text{個の項となる。}}\\ A^3\mathsf{\text{行列の行列式の定義}}det(A^3)=\underset{\sigma \in \mathbb{S}n}{\Sigma }sgn(\sigma )A1\sigma (1)A2\sigma (2)A3\sigma (3)\end{array}$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}sgn(\sigma )\mathsf{\text{は }}\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 2& 3\end{array}\right)\mathsf{\text{で }}1\mathsf{\text{(置換回数}}0\mathsf{\text{の偶置換) の符号}},\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 1& 3& 2\end{array}\right)\mathsf{\text{ で }}-1\mathsf{\text{(置換回数}}1\mathsf{\text{の奇置換)の符号}}\\ \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 3\end{array}\right)\mathsf{\text{で }}1\mathsf{\text{ (置換回数}}2\mathsf{\text{の偶置換) の符号}},\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)\mathsf{\text{ で }}-1\mathsf{\text{(置換回数}}3\mathsf{\text{の奇置換)の符号}}\\ \left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 1& 2\end{array}\right)\mathsf{\text{で }}1\mathsf{\text{(置換回数}}4\mathsf{\text{の偶置換) の符号}},\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 3& 2& 1\end{array}\right)\mathsf{\text{ で }}-1\mathsf{\text{(置換回数}}5\mathsf{\text{の奇置換)の符号}}\\ A1\sigma (1)A2\sigma (2)A3\sigma (3)\mathsf{\text{ は }}A11A22A33+A11A23A32+A12A21A33+A12A23A31+A13A21A32+A13A22A31\end{array}\right\}$

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{したがって 、}}A11A22A33-A11A23A32-\underset{―}{\mathsf{\text{(}}+-\mathsf{\text{で}}-\mathsf{\text{)}}}A12A21A33+\underset{―}{\mathsf{\text{(}}--\mathsf{\text{で}}+\mathsf{\text{)}}}A12A23A31+A13A21A32-A13A22A31\mathsf{\text{となる。}}\\ \mathsf{\text{行列式において、}}sgn(\sigma )\mathsf{\text{の符号は断続的ではなく連続}}(\underset{―}{\phantom{aaa}}\mathsf{\text{の箇所}})\mathsf{\text{していることに注意。}}\\ \mathsf{\text{置換の元}}A\mathsf{\text{を行列の要素}}a\mathsf{\text{に変換して、}}\\ \mathsf{\text{行列式}}det(A^3)=\boxed{a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32}\end{array}$

$$det(A^3)\mathsf{\text{の値が意味するもの}}$$

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{図}}2\mathsf{\text{から、}}\begin{array}{r}{A}^3=\left[\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right]\end{array}\mathsf{\text{ は }}v1=\left[\begin{array}{c}{a}_{11}\\ a_{21}\\ a_{31}\end{array}\right],v2=\left[\begin{array}{c}{a}_{12}\\ a_{22}\\ a_{32}\end{array}\right],v3=\left[\begin{array}{c}{a}_{31}\\ a_{32}\\ a_{33}\end{array}\right]\mathsf{\text{ に分割できる。}}\end{array}$

定義以外の行列式の解法

$$\mathsf{\text{サラスの公式}}$$

$\mathsf{\text{行列}}A=\left[\begin{array}{ccc}a11& a12& a13\\ a21& a22& a23\\ a31& a32& a33\end{array}\right]\Rightarrow \begin{array}{l}\left[\begin{array}{ccc}a11& a12& a13\\ a21& a22& a23\\ a31& a32& a33\end{array}\right]\begin{array}{cccc}& a11& a22& a33\\ +& a12& a23& a31\\ +& a13& a21& a32\end{array}\left\{\mathsf{\text{要素の色をたどって左たすき掛け}}\right\}\\ \left[\begin{array}{ccc}a11& a12& a13\\ a21& a22& a23\\ a31& a32& a33\end{array}\right]\begin{array}{cccc}-& a13& a22& a31\\ -& a12& a21& a33\\ -& a11& a23& a32\end{array}\left\{\mathsf{\text{要素の色をたどって右たすき掛け}}\right\}\end{array}$

$$\mathsf{\text{余因子展開}}(\mathsf{\text{行列式の展開}})\mathsf{\text{による解法}}$$

$\mathsf{\text{行列式の展開}}\mathsf{\text{を参照。}}$