行列式の定義

行列式の定義

行列式は正方行列に対して定義される。{正方行列は行要素と列要素が同数の行列である。行要素n個、列要素n個の正方行列AAnと表記し、n次正方行列Aという。}

det(An)=|a11a12a1na21a22a2nan1an2ann|=ΣσSna②③sgn(σ)A1σ(1)+A2σ(2)+A3σ(3)++Anσ(n)

{Σは総和の表記σ(シグマ)は置換の表記{置換は行列式の内部構造である。置換は {1,2,3,,n}{1,2,3,,n}の同じ二組の自然数の集合をとる。それぞれの要素を上下に配列してα,βとした場合(α=1,2,3,,nβ=1,2,3,,n)αのすべての元(要素)がβのすべての元と一対一(全単射)の写像となる。α 対 βの全単射のすべての置換は n! 通り ある。}Sn{その行列の次元(置換の列数)を表す n と、置換すべての集合(対称群) を表すS(エスと読む)}sgn(σ)置換の符号{偶置換(置換の回数が偶数回)で 1 の符号。奇置換(置換の回数が奇数回)で1 の符号。}ちなみにsgnsign(符号)の略記でサインと読む。A1σ(1)+A2σ(2)+A3σ(3)++Anσ(n){Anは置換の行の順番号に相当する。σ(n)は置換の列の順番号に相当する。}

n=2(2×2)の正方行列の行列式

A2=[a11a12a21a22]det(A2)=a11a22a12a21行列式の定義にあてはめると、det(A2)=ΣσSnsgn(σ)A1σ(1)A2σ(2){sgn(σ)は (1212)で 1(置換回数0の偶置換) の符号、(1221)で 1(置換回数1の奇置換)の符号。A1σ(1)A2σ(2) は A11A22+A12A21}したがって A11A22A12A21 となる。置換の元Aを行列の要素aに変換して、n=2の行列式det(A2)=a11a22a12a21 ということになる。

det(A2)の値が意味するもの

1 n=2(2×2)の正方行列の値

画像のスクリプトが見えづらくて恐縮だが、図1からdet(A2)の値は列ベクトル v1,v2 の線分(スカラー)がなす平行四辺形の面積になる。

n=3(3×3)以上の正方行列の行列式

A3=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]det(A3)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31n=3の正方行列の行列式ではn=(1,2,3)となり、その置換は 3!=6 で6通りあるので上記の6つの項となる。同様にn=4の正方行列の行列式では4つの成分の積に4!個の項、n=5の正方行列の行列式では5つの成分の積に5!個の項となる。A3行列の行列式の定義det(A3)=ΣσSnsgn(σ)A1σ(1)A2σ(2)A3σ(3)

{sgn(σ)は (123123)で 1(置換回数0の偶置換) の符号,(123132) で 1(置換回数1の奇置換)の符号(123213)で 1 (置換回数2の偶置換) の符号,(123231) で 1(置換回数3の奇置換)の符号(123312)で 1(置換回数4の偶置換) の符号,(123321) で 1(置換回数5の奇置換)の符号A1σ(1)A2σ(2)A3σ(3) は A11A22A33+A11A23A32+A12A21A33+A12A23A31+A13A21A32+A13A22A31}

したがって 、A11A22A33A11A23A32(+)A12A21A33+(+)A12A23A31+A13A21A32A13A22A31となる。行列式において、sgn(σ)の符号は断続的ではなく連続(aaaの箇所)していることに注意。置換の元Aを行列の要素aに変換して、行列式det(A3)=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32

det(A3)の値が意味するもの

2 det(A3)の値

2から、A3=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33] は v1=[a11a21a31],v2=[a12a22a32],v3=[a31a32a33] に分割できる。

以上からdet(A3)の値は、v1,v2,v3の線分が成す六面体の体積Cであることが解るよね。

定義以外の行列式の解法

サラスの公式

行列A=[a11a12a13a21a22a23a31a32a33][a11a12a13a21a22a23a31a32a33] a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32{要素の色をたどって左たすき掛け}[a11a12a13a21a22a23a31a32a33]a13a22a31a12a21a33a11a23a32{要素の色をたどって右たすき掛け}

余因子展開(行列式の展開)による解法

行列式の展開を参照。

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