行列の表記
\(\begin{eqnarray}A(a_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right]\end{eqnarray}\)
上記は\(m\)行\(n\)列の行列\(A\)を表す(行列\(A\)は\(m\times n\)の行列 と称する)。要素\(a\)に下添え字で \(a_{ij}\) と表記し、個々の要素の成分を表す。\(i\) は 行番号、\(j\) は 列番号となる。
行列の和
\(A(a_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right] + B(b_{ij})=\left[\begin{array}{cccc}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots \\b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn}\end{array}\right]=A+B{(a+b)ij}=\left[\begin{array}{cccc}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \ldots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \ldots & a_{2n}+b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \ldots & a_{mn}+b_{mn}\end{array}\right]\)
行列の和 は 同行同列 の行列どうしで成立する。これは相互に\(i\)行\(j\)列に合致した 要素 の演算だからである。
行列の定数倍
\(k\times A~=~ \begin{eqnarray}\left[\begin{array}{cccc}ka_{11} & ka_{12} & \ldots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \ldots & ka_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ka_{m1} & ka_{m2} & \ldots & ka_{mn}\end{array}\right]\end{eqnarray} \)
\(k\) を 定数(任意の実数) とする。
行列の積
\(\small{A=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn}\end{array}\right]},\hspace{15pt}\small{B=\left[\begin{array}{cccc}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn}\end{array}\right]} \hspace{20pt}A\,\times\,B= \small{\left[~\begin{array}{cccc} \hline a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ \hline a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \hline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \hline \end{array}~\right]}\times \small{\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn}~\end{array}\right]} \)
\(\textsf{第一項の 行列$A$ の 行、第二項の 行列$B$ の 列 に注目 $!$}\)
\(A\times B= \small{\begin{eqnarray}\left[\begin{array}{cccc} a_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21} + \ldots + a_{1n}\times b_{m1} & a_{11}\times b_{12} + a_{12}\times b_{22} + \ldots +a_{1n}\times b_{m2} & \ldots & a_{11}\times b_{1n} + a_{ 12}\times b_{2n} + \ldots + a_{1n}\times b_{mn}\\ a_{21}\times b_{11} + a_{22}\times b_{21} + \ldots + a_{1n}\times b_{m1} & a_{21}\times b_{12} +a_{22}\times b_{22} + \ldots + a_{2n}\times b_{m2} & \ldots & a_{21}\times b_{1n} + a_{22}\times b_{2n} + \ldots + a_{2n}\times b_{mn}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1}\times b_{11} + a_{m2}\times b_{21} + \ldots + a_{mn}\times b_{m1} & a_{m1}\times b_{12} + a_{m2}\times b_{22} + \ldots + a_{mn}\times b_{m2} & \ldots & a_{m1}\times b_{1n} +a_{m2}\times b_{2n} + \ldots + a_{mn}\times b_{mn}\end{array}\right]\end{eqnarray}} \)
\(\begin{array}{l}\textsf{行列の積は、各々の対応する 内積 を掛けて足し合わせる。上記の 行列$A$ の一行目の内積に対応するのは、行列$B$ の一列目の内積、} \\ \hspace{10pt}\textsf{行列$A$ の二行目の内積に対応するのは、行列$B$ の二列目の内積、 行列$A$ のm行目の内積に対応するのは、行列$B$ のn列目の内積となる。}\end{array}\)
\(\small{\begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{cccc} \hline a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ \hline a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \hline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} \\ \hline \end{array}~\right]\end{eqnarray}}\) \(\times \) \(\small{ \begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|}b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn}~\end{array}\right]\end{eqnarray}} \) \(\boldsymbol{~\neq~}\) \(\small{\begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \ldots & a_{mn} ~\end{array}\right]\end{eqnarray}}\) \(\times \) \(\small{ \begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{cccc} \hline b_{11} & b_{12} & \ldots & b_{1n} \\ \hline b_{21} & b_{22} & \ldots & b_{2n}\\ \hline \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline b_{m1} & b_{m2} & \ldots & b_{mn} \\ \hline \end{array}~\right]\end{eqnarray}} \)
行列の積は非可換(単位行列との積は除く) \(A\times B \neq B\times A\) である。
\(A(=)\small{\begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{cccc} \hline a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ \hline a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n}\\ \hline a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & a_{3n} \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \ldots & a_{mn} \\ \hline \end{array}~\right]\end{eqnarray}}\) \(\times \) \(~B(=)\small{ \begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|}b_{11} & b_{12} & b_{13} & \ldots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} & \ldots & b_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\b_{\,l1} & b_{\,l2} & b_{\,l3} & \ldots & b_{\,ln}~\end{array}\right]\end{eqnarray}} \) \(~=~\Large?\)
[1]
\(A(=)\scriptsize{\begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{cccc} \hline a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ \hline a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n}\\ \hline a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & a_{3n} \\ \hline \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \hline a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \ldots & a_{mn} \\ \hline \end{array}~\right]\end{eqnarray}}\) \(\times \) \(~B(=)\scriptsize{ \begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|}b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \\ \vdots & \vdots \\b_{m1} & b_{m2} ~\end{array}\right]\end{eqnarray}} \)
\(=C(=) \scriptsize{\begin{eqnarray}\left[\begin{array}{cccc} a_{11}\times b_{11}+a_{12}\times b_{21} + a_{13}\times b_{31} + \ldots + a_{1n}\times b_{m1} & a_{11}\times b_{12} + a_{12}\times b_{22} + a_{13}\times b_{32} + \ldots +a_{1n}\times b_{m2} \\ a_{21}\times b_{11} + a_{22}\times b_{21} + a_{32}\times b_{31} + \ldots + a_{2n}\times b_{m1} & a_{21}\times b_{12} +a_{22}\times b_{22} + a_{23}\times b_{32} + \ldots + a_{2n}\times b_{m2} \\ a_{31}\times b_{11} + a_{32}\times b_{21} + a_{33}\times b_{31} + \ldots + a_{3n}\times b_{m1} & a_{31}\times b_{12} +a_{32}\times b_{22} + a_{33}\times b_{32} + \ldots + a_{3n}\times b_{m2} \\ \vdots & \vdots \\a_{m1}\times b_{11} + a_{m2}\times b_{21} + a_{m3}\times b_{31} + \ldots + a_{mn}\times b_{m1} & a_{m1}\times b_{12} + a_{m2}\times b_{22} + a_{m3}\times b_{32} + \ldots + a_{mn}\times b_{m2} \end{array}\right]\end{eqnarray}} \)
[2]
\(\begin{array}{l}\textsf{行列の積の条件は、一方の行列の行の成分数と対する行列の列の成分数が等しいことである。} \\ \hspace{10pt}\textsf{上記[1]の行列[1]の式は、行列$A$は $\underline{m (\textsf{一行の成分$n$個})}\times n$ の行列で $l\times \underline{n (\textsf{一列の成分$m$個})}$ の行列$B$との積は成立しない。}\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\textsf{[2] の 行列$A,\,B$ の積は $\underline{m(\textsf{一行の成分$n$個})}\times n$ と $m\times \underline{2 (\textsf{一列の成分$n$個}) }$ の行列により成立する。} \\ \hspace{10pt}\textsf{また、この積を 行列$C$ とおくと、 $\textsf{行列}A(\underline{m}\times n )\times \textsf{行列}B(m\times \underline{2})= \textsf{行列}C(m\times 2)$ となる。}\end{array}\)
\(~B(=)\scriptsize{ \begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{cccc} \hline b_{11} & b_{12} \\ \hline b_{21} & b_{22} \\ \hline b_{31} & b_{32} \\ \hline \vdots & \vdots \\ \hline b_{m1} & b_{m2}\\ \hline \end{array}~\right]\end{eqnarray}} \) \(\times\) \(A(=)\scriptsize{\begin{eqnarray}\left[~\begin{array}{|c|c|c|c|} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \ldots & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & \ldots & a_{3n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \ldots & a_{mn} ~\end{array}\right]\end{eqnarray}}\) \(~=~\Large ?\)
\(B\times A\) は成立しない。