$$\begin{array}{l} \textsf{$\color{red}{\boldsymbol u}$ はベクトル $a,b$ に対して垂直なベクトルで、その大きさは$\,|\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}|\!\times\!|\vec{b}|\,$ の面積$({\small\textsf{平行四辺形の面積}})$に等しい。} \\ \hspace{200pt}|\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}|\!\times\!|\vec{b}|{\scriptsize\,=\,}S \\ \textsf{この定義を ベクトルの外積 という。だが注意しなければならないのは、ベクトルの外積の値はベクトル$(\textsf{$\href{https://showanojoe.com/template-math/linear-algebra/dot-product-of-vectors/}{\textsf{内積}}\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}\cdot\vec{b}$の値はベクトルの大きさ})$である。} \\[5pt]\textsf{$\vec{a}$の座標成分を${\scriptsize\begin{bmatrix}{a\tiny x} \\ {a\tiny y} \\ {a\tiny z}\end{bmatrix}}$、$\vec{b}$の座標成分を${\scriptsize\begin{bmatrix}{b\tiny x} \\ {b\tiny y} \\ {b\tiny z}\end{bmatrix}}$ とすると、} \\ \textsf{座標成分によるベクトルの外積の公式は}\:\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}\,\times\,\vec{b}={\small\begin{bmatrix}{a\tiny x} \\ {a\tiny y} \\ {a\tiny z}\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}{b\tiny x} \\ {b\tiny y} \\ {b\tiny z}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{a\tiny y}{b\tiny z}\,-\, {a\tiny z}{b\tiny y} \\ {a\tiny x}{b\tiny z}\,-\,{a\tiny z}{b\tiny x} \\ {a\tiny x}{b\tiny y}\,-\,{a\tiny y}{b\tiny x}\end{bmatrix}} \textsf{ となる。}\hspace{30pt}\left\{\small\textsf{この拡張が$\href{https://showanojoe.com/template-math/linear-algebra/define-matrix-expressions/}{\textsf{行列式}}$になる。}\right\} \end{array}$$
\(\textsf{$|\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}|\!\times\!|\vec{b}|{\scriptsize\,=\,}|\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}|\!\times\!|\vec{b}|sin\theta$ について}\)
\(\begin{array}{l}\textsf{図$2$は図$1$の平面$S$を切り抜いたものである。} \\ \textsf{$S$を$2$分した三角形の面積は ${\small\displaystyle\frac{1}{2}}|\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}|\!\times\!|\vec{b}|sin\theta$ となる。}\hspace{30pt}\left\{\small{sin\theta}{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{c}{|\vec{b}|}}\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}c{\scriptsize\,=\,}|\vec{b}|sin\theta\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}\textsf{三角形の面積}{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{2}}|\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}|\!\times\!|\vec{b}|sin\theta \right\} \\ \textsf{したがって、$|\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}|\!\times\!|\vec{b}|{\scriptsize\,=\,}|\overset{\Large\vec{\tiny ~}}{a}|\!\times\!|\vec{b}|sin\theta$ となる。これは前述した 平行四辺形$S$の面積 である。}\end{array}\)