確率

確率の定義

$\mathsf{\text{確率とは、確率分布}}(\mathsf{\text{確率関数}})\mathsf{\text{の、ある予測される事象の値をいう。}}$

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{確率分布の表記 }}P(X)=P,P(x)=p\mathsf{\text{または}}P(X=x)=p\mathsf{\text{これを }}X,x\mathsf{\text{ の確率 といい、}}X,x\mathsf{\text{ は }}\mathsf{\text{確率変数}}\mathsf{\text{ を表す。}}\\ \left\{\mathsf{\text{ここでは確率の値を}}P,p\mathsf{\text{と表記する。}}\right\}\end{array}$

$\mathsf{\text{確率の値}}\{\begin{array}{l}P\mathsf{\text{ の条件}}P(X)=P=1\\ p\mathsf{\text{ の条件}}\{\begin{array}{c}0\leqq p\leqq 1\left\{\mathsf{\text{確率変数 }}X\ni x\mathsf{\text{ の取りうる確率 }}P(x)\mathsf{\text{ の値の範囲}}(\ni \mathsf{\text{ の記号は、確率変数}}X\mathsf{\text{の集合の中の一つの要素である確率変数}}x\mathsf{\text{を意味する記号}})\mathsf{\text{。}}\right\}\\ p1+p2+p3+\cdots +pn=1\{\mathsf{\text{確率変数 }}X=(x1,x2,x3,\cdots ,xn)\mathsf{\text{ の取りうるすべての確率 }}P(X)\mathsf{\text{ の値の和。}}\}\end{array}\end{array}$

確率変数

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{[実例]}}\\ \mathsf{\text{一つのサイコロを投げたときの出目を }}X\mathsf{\text{ とする。}}\\ X\mathsf{\text{ は }}1\mathsf{\text{ から }}6\mathsf{\text{ までの数のどれかであり、どの数をとっても確率の値は 均一に }}{\displaystyle \frac{1}{6}}\mathsf{\text{ となる。この }}X(1,2,3,4,5,6)\mathsf{\text{ が 確率変数 である。}}\\ P(1)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(2)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(3)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(4)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(5)={\displaystyle \frac{1}{6}},P(6)={\displaystyle \frac{1}{6}}\\ \mathsf{\text{二つのサイコロ }}A,B\mathsf{\text{ を投げたときの出目の和を }}X\mathsf{\text{ とする。}}\\ X\mathsf{\text{ は }}2\mathsf{\text{ から }}12\mathsf{\text{ までの数のどれかであり、どの数をとっても確率の値は 均一に }}{\displaystyle \frac{1}{36}(\mathsf{\text{サイコロが二つなので }}{\displaystyle \frac{1}{6}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}})}\mathsf{\text{ となる。}}\\ \mathsf{\text{この }}X(2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)\mathsf{\text{ が 確率変数 である。}}\\ P(2)={\displaystyle \frac{1}{36}},P(3)={\displaystyle \frac{2}{36}},P(4)={\displaystyle \frac{3}{36}},P(5)={\displaystyle \frac{4}{36}},P(6)={\displaystyle \frac{5}{36}},P(7)={\displaystyle \frac{6}{36}},P(8)={\displaystyle \frac{5}{36}},P(9)={\displaystyle \frac{4}{36}},P(10)={\displaystyle \frac{3}{36}},P(11)={\displaystyle \frac{2}{36}},P(12)={\displaystyle \frac{1}{36}}\\ \left\{\begin{array}{c}\mathsf{\text{あれぇ}}?\mathsf{\text{ 値がバラバラだぞぉ}}!\mathsf{\text{ と思われるだろう。}}\\ \mathsf{\text{例えば }}P(3)={\displaystyle \frac{2}{36}}\mathsf{\text{ の場合、出目が }}A=1,B=2\mathsf{\text{ と、 }}A=2,B=1\mathsf{\text{ の}}2\mathsf{\text{通りがあり、}}\\ \mathsf{\text{それぞれの確率の値の和}}(\mathsf{\text{確率の加法定理 }}P(A\cup B)=P(A)+P(B))\mathsf{\text{ で }}{\displaystyle \frac{1}{36}+{\displaystyle \frac{1}{36}={\displaystyle \frac{2}{36}}}}\mathsf{\text{ となる。}}\\ \mathsf{\text{いずれにせよ、これは確率の値の課題であり、確率変数は }}{\displaystyle \frac{1}{36}}\mathsf{\text{ で均一である。}}\end{array}\right\}\end{array}$

離散型確率分布

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{離散型の確率は事象}}(\mathsf{\text{試行によって起こり得る結果}})\mathsf{\text{による確率である。}}\\ \mathsf{\text{加算}}(\mathsf{\text{自然数}})\mathsf{\text{個の確率質量}}(\mathsf{\text{これが確率変数}})\mathsf{\text{の和で表される。}}\\ \mathsf{\text{確率変数 }}X\mathsf{\text{ は }}X=\mathsf{\text{実数 の離散型確率変数 で、離散型確率分布 に従う。取り得る}}(\mathsf{\text{確率の}})\mathsf{\text{実数値はすべて列挙できるので、連続性はない。}}\end{array}$

連続型確率分布

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{連続型の確率は一意の区間内}}(\mathsf{\text{ある実数}}a\mathsf{\text{から実数}}b\mathsf{\text{の間}})\mathsf{\text{による確率である。}}\\ \mathsf{\text{非加算個の確率密度で表される。}}\\ \mathsf{\text{確率変数 }}X\mathsf{\text{ は }}X=0\mathsf{\text{ で、}}(a\leqq X\leqq b)\mathsf{\text{ の連続型確率変数 で、連続型確率分布 に従う。取り得る}}(\mathsf{\text{確率の}})\mathsf{\text{値は実数値で、連続性がある。}}\end{array}$

複数(多次元)の確率変数をもつ確率

$3\mathsf{\text{っつの確率変数をもつ確率を例とする。}}$

同時確率

$\mathsf{\text{同時確率の表記}}P(X,Y,Z)\Rightarrow \mathsf{\text{同時確率関数の表記}}{f}_{X,Y,Z}(x,y,z)$

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{[事例]}}\\ \mathsf{\text{３つのサイコロ }}X\mathsf{\text{、}}Y\mathsf{\text{、}}Z\mathsf{\text{ を同時に投げるという試行から、それぞれの出目}}x,y,z\mathsf{\text{ を得られた事象とし、}}\\ \mathsf{\text{それらの}}\mathsf{\text{組み合わせ}}(\mathsf{\text{３つのサイコロの出目}})\mathsf{\text{を試行結果とする確率。}}\end{array}$

条件付き確率

$\mathsf{\text{条件付き確率の表記}}P(X,Y|Z)\Rightarrow \mathsf{\text{条件付き確率関数の表記}}{f}_{X,Y}(x,y)\left\{\begin{array}{l}\mathsf{\text{確率変数 }}z\mathsf{\text{ の値は決まっているもの}}(\mathsf{\text{これが 条件付き の所以}})\mathsf{\text{と、}}\\ \mathsf{\text{するので、}}z\mathsf{\text{ 抜きの同時確率となる。}}\\ \mathsf{\text{確率変数 }}y,z\mathsf{\text{ の値が決まっているのなら、}}\\ \mathsf{\text{確率関数は }}P(X,|Y,Z)\Rightarrow f_X(x)\mathsf{\text{の 周辺確率 となる。}}\end{array}\right\}$

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{[事例]}}\\ \mathsf{\text{３つのサイコロ }}X\mathsf{\text{、}}Y\mathsf{\text{、}}Z\mathsf{\text{ を同時に投げるという試行から、}}z=1\mathsf{\text{ とした場合、}}2\mathsf{\text{つの出目}}x,y\mathsf{\text{ を得られた事象}}(\mathsf{\text{確率変数}})\mathsf{\text{とし、}}\\ \mathsf{\text{それらの組み合わせ}}(2\mathsf{\text{つのサイコロの出目}})\mathsf{\text{を試行結果とする確率。}}\end{array}$

確率の乗法定理とベイズの定理

$\begin{array}{l}\mathsf{\text{確率の乗法定理}}(\mathsf{\text{同時確率と条件付き確率の関係式}})\\ P(X,Y)=P(X|Y)P(Y)=P(Y|X)P(X)\\ \left\{\begin{array}{c}\mathsf{\text{確率関数}}X,Y\mathsf{\text{が互いに独立した事象の場合の関係式は}}P(X,Y)=P(X)P(Y)\\ \mathsf{\text{事例}}\mathsf{\text{として}}X\mathsf{\text{カード}}4\mathsf{\text{枚、}}Y\mathsf{\text{カード}}5\mathsf{\text{枚ある場合、}}1\mathsf{\text{回目に}}X\mathsf{\text{カードを引い}}\\ \mathsf{\text{ て }}\underset{―}{\mathsf{\text{元にもどし}}}\mathsf{\text{ 、}}2\mathsf{\text{回目に}}9\mathsf{\text{枚の中から}}Y\mathsf{\text{カードを引く確率は }}{\displaystyle \frac{4}{9}\times {\displaystyle \frac{5}{9}}}\\ 3\mathsf{\text{確率変数の乗法定理は}}\\ P(X,Y,Z)=P(X|Y,Z)P(Y,Z)=P(X|Y,Z)P(Y|Z)P(Z)\end{array}\right\}\\ \mathsf{\text{ベイズの定理}}\\ P(X|Y)={\displaystyle \frac{P(Y|X)P(X)}{P(Y)}}\\ \left\{\begin{array}{c}3\mathsf{\text{確率変数の確率をベイズの定理に当てはめると}}\\ P(X,Y|Z)={\displaystyle \frac{P(X,Y,Z)}{P(Z)}}={\displaystyle \frac{P(X|Y,Z)P(Y,Z)}{P(Z)}={\displaystyle \frac{P(X|Y,Z)P(Y|Z)P(Z)}{P(Z)}=P(X|Y,Z)P(Y|Z)}}\\ \mathsf{\text{ベイズの定理の解説}}\\ P(X|Y)={\displaystyle \frac{P(Y|X)P(X)}{P(Y)}}\to P(X|Y)=P(X)\times {\displaystyle \frac{P(Y|X)}{P(Y)}}\to \mathsf{\text{事後確率}}=\mathsf{\text{事前確率}}\times {\displaystyle \frac{\mathsf{\text{尤度}}(\mathsf{\text{ゆうど}})}{\mathsf{\text{正規化}}}}\\ \mathsf{\text{事後確率とは一見意味不明なフレーズだが、「}}X\mathsf{\text{という事が起こった後の}}Y\mathsf{\text{が起こる確率」と解釈すればいいだろう。}}\\ \mathsf{\text{要はここでいう条件付き確率のことである。}}\end{array}\right\}\end{array}$

周辺確率