指数と対数

ネイピア数 e について

ネイピア数 \(\class{Boldfont}{e}\)は極限、微分の課題において、指数関数、対数関数の底数(自然対数の底数) として頻出する。

\(\class{Boldfont}{\textsf{ネイピア数 $\class{Boldfont}{e}(\textsf{自然対数の底})$の定義式}}\)

\(\boldsymbol{\large e}~\small{=}~{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{n\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize \!\infty}}}}\!\!\!(1+{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{n}})^{n}\hspace{10pt}\left(\textsf{または、$\small\displaystyle\frac{1}{n}$ を $h$ に置き換えて、}e{\small\,=\,}~{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h\scriptsize{\rightarrow}\scriptsize 0}}}}\!\!\!(1+{h})^{\small\frac{1}{h}}\hspace{30pt}\left\{{\tiny\displaystyle\frac{1}{h}\rightarrow\infty}{\scriptsize\:=\:}{\tiny{\scriptsize h}\rightarrow\displaystyle\frac{1}{\infty}}{\scriptsize\:=\:}{\tiny{\scriptsize h}\rightarrow \scriptsize 0}\right\}\right)\)

ちなみに \({\large e}\,({\normalsize e}{\scriptsize\,=\,}2.7\cdots \textsf{の無理数である。})\)は仮の定数 \({\large a}(\small\textsf{$\normalsize e$以外の実数})\) とする指数関数 \(f(x)=a^x\) の\(\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#微分}{\textsf{微分}}\)過程から 自然に見出される\((\small\textsf{以下})\)。

\((a^{x})^{\prime}\left\{\begin{array}{l}{\small\textsf{$\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#微分}{\textsf{微分の定義式}}$ ${\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\scriptsize\frac{f {\scriptsize(x+h)}-f{\scriptsize(x)}}{h}$ から}} \\[3pt]{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\scriptsize\frac{a^{x+h}-a^x}{h}}\\[3pt]\:{\scriptsize =}\:{\small a^x}\cdot\,{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\scriptsize\frac{a^h-1}{h}=a^x\cdot\,1}\hspace{30pt} {\scriptsize\leftarrow}\:\scriptsize\textsf{$\href{https://showanojoe.com/template-math/limits-and-derivatives/#極限の公式}{\textsf{極限の公式}}\{{\tiny{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-15pt}{\tiny{h\tiny{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\tiny\frac{a^x-1}{x}=1}\}$} \\[3pt]{\scriptsize\rightarrow}\:{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\scriptsize\frac{a^h-1}{h}=1}\hspace{30pt}{\scriptsize\leftarrow}\:{\scriptsize\textsf{$a^x$ は微分に影響しない両辺共通の係数なので切り捨てて計算することにする。} }\\[3pt]{\scriptsize\rightarrow}\:{\scriptsize\rightarrow}\:{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{a^h-1}{h}}}\,{\scriptsize=}\,{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize\displaystyle\frac{h}{h}}}\\[3pt]{\scriptsize\rightarrow}\:{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize a^h-1}}\,{\scriptsize =}\,{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize h}}\hspace{30pt}{\scriptsize\leftarrow}{\scriptsize\textsf{両辺の分母を取る。}}\\[3pt]{\scriptsize\rightarrow}\:{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize a^h}}\,{\scriptsize =}\,{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize 1+h}}\hspace{30pt}{\scriptsize\leftarrow}{\scriptsize\textsf{左辺の$-1$ を右辺に移行。}}\\[3pt]{\scriptsize\rightarrow}\:{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize a}}\,{\scriptsize =}\,{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize (1+h)^{\frac{1}{h}}}}\hspace{30pt}{\scriptsize\leftarrow}{\scriptsize\textsf{左辺の指数を取る。}}\\[3pt]{\scriptsize\rightarrow}\:{\scriptsize a}\,{\scriptsize =}\,{\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize (1+h)^{\frac{1}{h}}}}\hspace{30pt}{\scriptsize\leftarrow}{\scriptsize\textsf{左辺の $a$ は変化量 $h$ に依らないただの係数なので $lim$ を取る。}}\\[3pt]{\scriptsize\textsf{で、指数関数を使った仮の定数 $a$ から、上述の $e$ の定義式 ${\scriptsize{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!{\scriptsize (1+h)^{\frac{1}{h}}}}$ が見出された。 }}\end{array}\right.\)

\(\textsf{また、対数関数 $f(x)=log_a\,x$ の微分$(\small\textsf{底が $a$ の対数})$過程から $e$ が見い出だされる$(\small\textsf{以下})$。}\)

\((log_a\,x)^{\prime}\left\{\begin{array}{l}{\small\textsf{微分の定義式 ${\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\displaystyle\scriptsize\frac{f {\scriptsize(x+h)}-f{\scriptsize(x)}}{h}$ から}}\\[5pt]\small{\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\scriptsize\displaystyle\frac{log_a\,(x+h)-log_a\,x}{h} \\[5pt] \scriptsize{=}\hspace{5pt} {\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\! \small\displaystyle\frac{1}{h}\, log_a\,(x+h)-log_a\,x \\[5pt] \scriptsize{=}\hspace{5pt} {\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\! \small\displaystyle\frac{1}{h}\,\scriptsize\displaystyle\frac{log_a\,(x+h)}{log_a\,x} \\[5pt] {\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\! \small\displaystyle\frac{1}{h}\,log_a\scriptsize\displaystyle\frac{(x+h)}{x} \\[3pt] {\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\! 1\,\small\displaystyle\frac{1}{h}\,log_a(1+\scriptsize\displaystyle\frac{h}{x}) \\[3pt] {\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\! {\small\displaystyle\frac{x}{x}}\,log_a(1+\small\displaystyle\frac{h}{x})^{\tiny\displaystyle\frac{1}{h}} \\[3pt] {\small\displaystyle\frac{1}{x}}\,log_a {\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\! (1+\small\displaystyle\frac{h}{x})^{\tiny\displaystyle\frac{x}{h}} \\[3pt] {\small\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\! (1+t)^{\tiny\displaystyle\frac{1}{t}}\hspace{30pt}{\scriptsize\leftarrow}\:\scriptsize\textsf{$e\,$の定義式$\:{\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{t\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\! (1+t)^{\tiny\displaystyle\frac{1}{t}}{\tiny\:=\:}{\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{t\scriptsize{\rightarrow}\tiny 0}}}}\!\!\! (1+h)^{\tiny\displaystyle\frac{1}{h}}\:$が見いだされた。}\end{array}\right.\)

なお、定数である \({\large e}\) の微分は \(e^{\prime}{\small\,=\,}0\) だが、\(e^{x}\) の微分は \((e^{x})^{\prime}{\small\,=\,}e^{x}\) となる\((\href{#指数関数の微分}{\small\textsf{証明}})\)。

ついでに \(e^{x}\) の\(\href{https://showanojoe.com/template-math/integral/}{\textsf{積分}}(\textsf{不定積分})\) は \({\small\displaystyle\int}\,e^{x}\,dx{\small\,=\,}e^{x}\) である。

指数

\(\hspace{200pt}a^n=A\hspace{5pt}\left\{\begin{array}{l}\textsf{$a$を$n$回掛けると$A$になる。} \\ \textsf{$a$を底数、$n$を指数部という。} \\ \textsf{指数の底数条件 $a \:{\scriptsize\neq} \:0$}(\scriptsize\textsf{顕著な例 $0^{-1}\hspace{1pt}=\scriptsize\displaystyle\frac{1}{0}$ で非数となり成立しない。})\end{array}\right.\)

指数法則

$$\textsf{指数法則}\left\{\begin{array}{l}\:\,a^0=1 \\[3pt] \:\,a^{{\tiny -}n}=\scriptsize\displaystyle\frac{1}{a^n} \\[3pt] \:\,a^{\small\frac{m}{\normalsize n}}=\sqrt[\uproot{5}n]{\smash[b]{a^{\scriptsize m}}} \\[3pt] \:\,a^m\cdot a^n=a^{m+n} \\ (a^m)^n=a^{m\times n} \\[3pt] (ab)^n=a^n\cdot b^n \\[3pt] \:\,{\small\displaystyle\frac{a^m}{a^n}}=a^{m-n}\end{array}\right.$$

累乗根

$$\textsf{$n$ 乗すると $a$ になる $b$ を $a$ の $n$乗根という。}$$

$$\mathstrut\sqrt[\uproot{5}n]{a}{\small\,=\,}b\hspace{30pt}\left\{\small\textsf{$n$乗根$a$といい、$0 \lt a, \:\:2 \lt n(\textsf{整数})\:\:\mathstrut\sqrt[n]{a}\gt 0$ であることが条件。}\right\}$$

\(\begin{array}{l}\color{gray}{[\textsf{事例}]} \\[15pt]\mathstrut\sqrt[\uproot{5}3]{8}{\small\,=\,}\mathstrut\sqrt[\uproot{5}3]{2^{3}}{\small\,=\,}(2^{3})^{\tiny\displaystyle\frac{1}{3}}{\small\,=\,}2^{3\times \tiny\displaystyle\frac{1}{3}}{\small\,=\,}2\hspace{30pt}\sqrt{9}{\small\,=\,}\sqrt{3^{2}}{\small\,=\,}(3^{2})^{\tiny\displaystyle\frac{1}{2}}{\small\,=\,}3^{2\times \tiny\displaystyle\frac{1}{2}}{\small\,=\,}3\end{array}\)

累乗根の公式

\(\textsf{累乗根の公式}\left\{\begin{array}{l}\sqrt[\uproot{6}n]{\smash[b]{a}}\cdot \sqrt[\uproot{6}n]{\smash[b]{b}}=\sqrt[\uproot{6}n]{\smash[b]{ab}}\\[3pt] \small\displaystyle\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[\uproot{5}n]{b}}=\sqrt[\uproot{15}n]{\frac{a}{b}} \\[3pt](\sqrt[n]{a})^{\scriptsize m}=\sqrt[\uproot{10}n]{a^{\scriptsize m}}\\[3pt] \sqrt[\uproot{5}m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a} \\[3pt]\sqrt[\uproot{10}nl]{a^{{\scriptsize ml}}}=\sqrt[\uproot{10}n]{a^{\scriptsize m}}\end{array}\right.\)

指数関数の微分

\({f{\scriptsize(x)}\:\small{=}\:a^x\textsf{として、}(a^{x})^{\prime}\:\textsf{ を導出}}\)

$$\hspace{-170pt}(a^x)’\hspace{5pt}\left\{\begin{array}{l}\hspace{5pt}=\hspace{5pt}{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{a^{(x +\varDelta x )}-a^x}{\varDelta x} \\[3pt] \hspace{5pt}=\hspace{5pt}{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{a^x \cdot a^{\varDelta x}-a^x}{\varDelta x}\hspace{50pt}{\color{darkgray}\rightarrow cf}\hspace{5pt}\scriptsize\textsf{指数法則}\:\{a^m\cdot a^n=a^{m+n}\:\leftrightarrow \:a^{m+n}=a^m\,a^n\} \\[3pt] \hspace{5pt}=\hspace{5pt}{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{a^x (a^{\varDelta x}-1)}{\varDelta x} \\[3pt] \hspace{5pt}=\hspace{5pt}a^x\cdot{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{a^{\varDelta x }-1}{\varDelta x} \\[3pt] \hspace{5pt}=\hspace{5pt}a^x\,{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{t}{\varDelta x} \hspace{50pt}\{\scriptsize\textsf{式変形の便宜上、分母の変形を得るため $a^{\varDelta x}{\scriptsize -}1$ を $t$ と置いてみる。}\}\\[15pt] \hspace{5pt}=\hspace{5pt}a^x\,{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{t}{\frac{log\,(t+1)}{log\,a}} \hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}{\scriptsize\textsf{$t\,{\tiny =}\,a^{\varDelta x}{\scriptsize -}1$ は $a^{\varDelta x}\,{\tiny =}\,t+1$ で変形して分数になった分母の分母分子に対数$log_{\color{darkgray}e}$ をとる}} \\ {\scriptsize\textsf{(分母は分数なのでその分母分子に対数$log$をとっても比に影響しない)と、}} \\ {\scriptsize\textsf{$log\,(t+1)\,{\tiny =}\,log\,a^{\varDelta x}\:\rightarrow\:log\,(t+1)\,{\tiny =}\,\varDelta x\,log\,a\:\rightarrow\:\varDelta x\,{\tiny =}\,\frac{log\,(t+1)}{log\,a}$}} \\ {\scriptsize\textsf{ということになる。$\hspace{30pt}{\color{darkgray}\:\rightarrow cf}\hspace{5pt}$対数の基本公式}}\end{array}\right\} \\[30pt] \hspace{5pt}=\hspace{5pt}a^x\,{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\scriptsize\displaystyle\frac{t\,log\,a}{log\,(t+1)} \hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}{\scriptsize\textsf{分数式を整理する(内内分母外外分子の ゴロあわせ)。}}\end{array}\right\} \\[3pt]\hspace{5pt}=\hspace{5pt}a^x\,{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!{\small log\,a}\times\scriptsize\displaystyle\frac{t}{log\,(t+1)} \\[3pt] \hspace{5pt}=\hspace{5pt}a^x\, log\,a\,{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\scriptsize\displaystyle\frac{t}{log\,(t+1)} \\[3pt] \hspace{5pt}=\hspace{5pt}a^x\,log\,a\,\cdot 1 \hspace{50pt}{\scriptsize\textsf{${\color{darkgray}\:{\small\rightarrow cf}}\hspace{3pt}$極限の公式$\hspace{10pt}\{{\tiny\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-20pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\tiny0}}}}\!\!\!\tiny\displaystyle\frac{t}{log\,(t+1)}{\scriptsize =1} \}$}} \end{array}\right\}\hspace{5pt}=a^x\,log\,a$$

\(\cssId{id2-4-1}{f{\scriptsize(x)}\:\small{=}\:e^x\textsf{として、}(e^{x})^{\prime}\:\textsf{ を導出}}\)

\((e^x)’\left\{\begin{array}{l}{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{e^{(x +\varDelta x )}-e^x}{\varDelta x} \\ {\scriptsize\,=\,}{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{e^{x}\cdot e^{\tiny\varDelta x}{\small\,-\,}e^{x} \cdot 1}{\varDelta x} \\ {\scriptsize\,=\,}{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{(e^{\tiny\varDelta x}{\small\,-\,}1)}{\varDelta x}{\normalsize \cdot e^{x}} \\ {\scriptsize\,=\,}e^{x}\cdot{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{ e^{\tiny\varDelta x}{\small\,-\,}1}{\varDelta x}\hspace{30pt}{\scriptsize\leftarrow}\:\small\textsf{分子の $e^{\tiny\varDelta x}{\small\,-\,}1$ を $t$ と置いてみる。} \\[5pt] {\scriptsize\,=\,}e^{x}\cdot{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{\varDelta x\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{t}{\varDelta x} \hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{$t{\scriptsize\,=\,}e^{\tiny\varDelta x}{\small\,-\,}1$ は $t{\scriptsize\,+\,}1{\scriptsize\,=\,}e^{\tiny\varDelta x}$。両辺に対数$log_e$ をとることで $log_e(t{\scriptsize\,+\,}1){\scriptsize\,=\,}log_e\,e^{\tiny\varDelta x}$} \\ \small\textsf{したがって $log_e(t{\scriptsize\,+\,}1){\scriptsize\,=\,}{\varDelta x}\,log_e e$ で $log_e(t{\scriptsize\,+\,}1){\scriptsize\,=\,}{\varDelta x}{\color{lightgray}\cdot 1}$ ということになる$(\scriptsize\textsf{下記の対数法則の$5$行目 $k\,log\,n=log\,n^k$ を参照})$。これを分母にあてはめる。}\end{array}\right\} \\[5pt]{\scriptsize\,=\,}e^{x}\cdot{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{t}{log_e(t{\scriptsize\,+\,}1)} \hspace{50pt}\{\small\textsf{分母分子に $t$ の逆数 $\tiny\displaystyle\frac{1}{t}$ を掛けてみる。}\} \\{\scriptsize\,=\,}e^{x}\cdot{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{t \cdot \tiny\displaystyle\frac{1}{t}}{log_e(t{\scriptsize\,+\,}1)\cdot \tiny\displaystyle\frac{1}{t}} \\ {\scriptsize\,=\,}e^{x}\cdot{\small \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!\small\displaystyle\frac{1}{log_e(t{\scriptsize\,+\,}1)^{\tiny\displaystyle\frac{1}{t}}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{分母の式変形は下記の対数法則の$9$行目 $k\,log\,n=log\,n^k$ を参照}\} \\ {\scriptsize\,=\,}e^{x}\cdot \small\displaystyle\frac{1}{{\small log_e \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!(t{\scriptsize\,+\,}1)^{\tiny\displaystyle\frac{1}{t}}} \hspace{50pt}\{\small\textsf{関数 $e^{x}$ は 連続 しているので $lim$ と $log$ の入れ替え が可能。また、${{\scriptsize \it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{t\tiny{\rightarrow}\,\tiny0}}}}\!\!(t{\scriptsize\,+\,}1)^{\tiny\displaystyle\frac{1}{t}}}$ は 自然対数の底数 $e$ の定義式である。} \}\\ {\scriptsize\,=\,}e^{x}\cdot \small\displaystyle\frac{1}{{\small log_e e}} {\scriptsize\,=\,}e^{x}\cdot 1 \\ {\scriptsize\,=\,}e^{x}\hspace{50pt}\{{\small\textsf{$\scriptsize\displaystyle\frac{log_e\,e}{log_e\,a}$}}\}\end{array}\right.\)

対数

$$\textsf{指数と対数の関係}\left\{\begin{array}{l}a^s=t\leftrightarrow log_a t =s\hspace{50pt}\{{\small\textsf{ちなみに $log_a t$ の $a$ を 底数、$t$ を真数 という$(\textsf{真数は $0\,{\small\lt}\,t$ が条件})$。}}\} \\[5pt] a^s{\small\,=\,}t,\,log_a t{\small\,=\,}s{\small\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}log_a a^s{\small\,=\,}s,\,a^{log_a t}{\small\,=\,}t\hspace{50pt}\{{\small\textsf{→真数$t$に指数の解$t$を代入した式$\left({\scriptsize\textsf{$\href{#対数法則}{\textsf{対数法則}}$も参照}}\right)$。$,\,$指数$s$に解の対数を代入した式。}}\} \\[5pt] log_a s{\small\,=\,}log_a s{\small\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}a^{log_a s}{\small\,=\,}s\hspace{50pt}\{{\small\textsf{$a$を$log_a s$乗したら$s$になる。}}\} \\[5pt] {\small\hspace{5pt}\rightarrow\hspace{5pt}}a^{\small{log_a s \,log_a t}}{\small\,=\,}\left(a^{log_a s}\right)^{log_a t}{\small\,=\,}s^{log_a t}\end{array}\right.$$

$$\textsf{底数の変換公式}\hspace{30pt}\left\{\begin{array}{l}log_a b{\small\,=\,}\small\displaystyle\frac{log_c \,a}{log_c \,b} \\ log_a b{\small\,=\,}\small\displaystyle\frac{1}{log_b\,a}\hspace{50pt}\{{\small\scriptsize\displaystyle\frac{log_e\,b}{log_e\,a}}{\small\textsf{の分母分子を $log_e b$ で割ると $\tiny\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{log_e\,b}{log_e\,b}}{\displaystyle\frac{log_e\,a}{log_e\,b}}$}}{\scriptsize\,=\,}{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{log_b\,a}}\}\end{array}\right.$$

自然対数の底数 e

\(\begin{array}{l}\textsf{ネイピア数 $e$ を底数にする対数を $\class{Boldfont}{\textsf{自然対数}}$ という。} \\[3pt] \hspace{10pt}\textsf{底数を $e$ にして自然対数を使う意義は 対数関数の微分積分の計算が簡素になるからである(結論からすると、意義はこれに限る)。}\\[5pt] \hspace{10pt}\textsf{$\left(log_e x\right)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}\small\displaystyle\frac{1}{x}$ という簡素な導関数が得られる。} \hspace{50pt}\{\small\textsf{対数の微分}\href{#shoumei_2}{\small\textsf{ 証明}}\small\textsf{ も参照}\} \\ \hspace{10pt}\textsf{$log_a\,x$ という 自然対数以外の対数を微分する場合、$log_a b {\scriptsize\,=\,}\scriptsize\displaystyle\frac{log_c a}{log_c b}$ の底の変換公式から、分子分母が底数を $e$ とする自然対数とし $log_a x$ を微分すると$({\small\textsf{導関数を求めると}})$} \\ \hspace{10pt}\textsf{$\left(log_a x\right)^{\prime} {\scriptsize\,=\,}\left({\scriptsize\displaystyle\frac{log_e x}{log_e a}}\right)^{\prime}$ で ${\scriptsize\displaystyle\frac{1}{x}}\cdot{\scriptsize\displaystyle\frac{1}{log_e a}}$ となる。} \textsf{${\scriptsize\displaystyle\frac{1}{log_e a}}$ は定数であるので導関数は${\scriptsize\displaystyle\frac{1}{x\,log_e a}}$ である。} \\[3pt] \hspace{10pt}\textsf{また、$\left(log_e|x|\right)^{\prime}$ は ${\small 0}\,{\small \lt}\,x$ なら ${\small\displaystyle\frac{1}{x}}\cdot(x)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{x}}$、${\small 0}\,{\small \gt}\,x$ なら ${\small\displaystyle\frac{1}{-x}}\cdot(-x)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{x}}$ となる。}\hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}{\small\textsf{対数は合成関数である。}} \\ \small\textsf{自然対数の微分は真数が分母となる。}\end{array}\right\} \\[5pt] \hspace{10pt}\textsf{上記の計算結果から、$\color{red}\underline{\color{black}{\textsf{自然対数以外の対数}}}$の真数に絶対値が付いた対数の微分 $\left(log_a |x|\right)^{\prime}$ は $\small\displaystyle\frac{1}{x}\cdot\small\displaystyle\frac{1}{log_e\,a}$ となる。}\end{array}\)

対数法則

$$\textsf{対数法則}\left\{\begin{array}{l}log_e\,1=0 \\[3pt] log_e\,e=1 \\[3pt] log_e{\small\displaystyle\frac{1}{e}}{\,=\,}{\small -}1\\[3pt] log_e{\small\displaystyle\frac{1}{s^{t}}}{\,=\,}{\small -}t\,log_e s\\[3pt] log_e\, \sqrt[\uproot{6}t]{\smash[b]{s}}{\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{t}}log_e s\\[3pt] log_e{\small\displaystyle\frac{1}{s}}{\,=\,}log_{\scriptsize\frac{1}{e}}\,s \\[3pt]log_e\,m\,n=log_e\,m+log_e\,n \\[3pt] log_e\,m-log_e\,n=\small\displaystyle\frac{log_e\,m}{log_e\,n}=log_e\,\small\displaystyle\frac{m}{n} \\[ 3pt] k\,log_e\,n=log_e\,n^k \end{array}\right.$$

対数の微分

$$(log_a\,x)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}\small\displaystyle\frac{1}{x\,log_e a}$$

\({\color{gray}{\textsf{証明}}}\)

\((log_a\,x)^{\prime}\left\{\begin{array}{l}\textsf{微分の定義式 ${\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f {\scriptsize(x+h)}-f{\scriptsize(x)}}{h}$ から、} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{log_a{\scriptsize(x+h)}-log_a{\scriptsize(x)}}{h} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\,{\small\displaystyle\frac{log_a\left({\scriptsize\displaystyle\frac{x+h}{x}}\right)}{\small h}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{対数法則 ${\scriptsize log\,m-log\,n=\displaystyle\frac{log\,m}{log\,n}=log\,\displaystyle\frac{m}{n}}$ }\} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{h}}\cdot\,log_a\left({\small\displaystyle\frac{x+h}{x}}\right) \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{h}}\cdot log_a \left({\small\displaystyle\frac{x}{x}}+{\small\displaystyle\frac{h}{x}}\right)\\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{h}}\cdot log_a\left(1+{\small\displaystyle\frac{h}{x}}\right)\\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\,log_a\left(1+{\small\displaystyle\frac{h}{x}}\right)^{\!{\tiny\displaystyle\frac{1}{h}}}\hspace{50pt}\{{\small\textsf{対数法則 $k\,log_e\,n=log_e\,n^k$}}\} \\[10pt] {\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{x}}\cdot log_a\left\{\left(1+{\small\displaystyle\frac{h}{x}}\right)^{\!{\tiny\displaystyle\frac{1}{h}}}\right\}^{x} \hspace{50pt}\{{\small\textsf{真数 $\left(\scriptsize {1+{\tiny\displaystyle\frac{h}{x}}}\right)^{\!{\tiny\displaystyle\frac{1}{h}}} $ に指数 $x$ を附加したので、係数 ${\scriptsize\displaystyle\frac{1}{x}}$ を補填して相殺した式変形。}}\}\\[10pt] {\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{x}}\,log_a\,{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\! \left(1+{\small\displaystyle\frac{h}{x}}\right)^{\!{\tiny\displaystyle\frac{x}{h}}} \hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{関数の連続性により、$lim$ と $log$ の入れ換えが可能。} \\ \small\textsf{指数法則 $(a^m)^n=a^{m\times n}$} \\ \small\textsf{${{\scriptsize\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\tiny{h}\,{\tiny{\rightarrow}\,\tiny 0}}}}\!\! \left({\scriptsize 1+}{\tiny\displaystyle\frac{h}{x}}\right)^{\!\frac{x}{h}}}$ は $e$ の定義式。}\end{array}\right\}\\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{\normalsize x}}log_a\,e\\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{\normalsize x}}\cdot{\small\displaystyle\frac{1}{log_e\,a}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{底数の交換法則 $log_a b={\small\displaystyle\frac{1}{log_b\,a}}$ を参照。}\}\end{array}\right\}{\small\,=\,}\small\displaystyle\frac{1}{xlog_e\,a}\)

$$(log_e\,x)^{\prime}{\scriptsize\,=\,}\small\displaystyle\frac{1}{\normalsize x}$$

\({\color{gray}{\textsf{証明}}}\)

\((log\,x)^{\prime}\left\{\begin{array}{l}\textsf{微分の定義式 ${\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{f {\scriptsize(x+h)}-f{\scriptsize(x)}}{h}$ から、} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\displaystyle\small\frac{log{\scriptsize(x+h)}-log{\scriptsize(x)}}{h} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{h}}\,log{\small\displaystyle\frac{x+h}{x}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{対数法則 ${\scriptsize log\,m-log\,n=\displaystyle\frac{log\,m}{log\,n}=log\,\displaystyle\frac{m}{n}}$ }\} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{1}{x}}\cdot{\small\displaystyle\frac{x}{h}}\,log\left(1+{\small\displaystyle\frac{h}{x}}\right)\\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{\normalsize x}}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!{\small\displaystyle\frac{x}{h}}\,log\left(1+{\small\displaystyle\frac{h}{x}}\right)\hspace{50pt}\{\small\textsf{$0$に収束する$h$に関わらない定数は$lim$の前に置ける。}\} \\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{\normalsize x}}{\it{lim}}_{\overset{\Large{~^~}}{\hspace{-25pt}{\scriptsize{h}\,{\scriptsize{\rightarrow}\,\scriptsize 0}}}}\!\!\,log\left(1+{\small\displaystyle\frac{h}{x}}\right)^{{\!\scriptsize\displaystyle\frac{x}{h}}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{対数法則 $k\,log\,n=log\,n^k$ を参照。また、$\scriptsize\left(1+{\displaystyle\frac{h}{x}}\right)^{\!\tiny\displaystyle\frac{x}{h}}$ は $\href{#ネイピア数-class-boldfont-e-自然対数の底数-の数式}{\textsf{ネイピア数の定義}}$ である。}\}\\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{\normalsize x}}log\,e\\[10pt]{\scriptsize\,=\,}{\small\displaystyle\frac{1}{\normalsize x}}\hspace{50pt}\{\small\textsf{対数法則 $log\,e=1$ を参照。}\}\end{array}\right.\)