因数とは
\({\color{darkgray}{\small\textsf{[事例]}}}\)
\(\hspace{15pt}{\large\alpha}{\scriptsize \:=\:}ax^{\tiny 4}{\scriptsize -}2ax^{\tiny 3}{\scriptsize -}13ax^{\tiny 2}{\scriptsize +}24a{\scriptsize \,=\,}a(x^{\tiny 4}{\scriptsize -}2x^{\tiny 3}{\scriptsize -}13x^{\tiny 2}{\scriptsize +}24)\)\({\scriptsize \:=\:}a(x^{\tiny 2}{\scriptsize -}x{\scriptsize -}2)(x^{\tiny 2}{\scriptsize -}x{\scriptsize -}12)\)\({\scriptsize \:=\:}a(x{\scriptsize +}1)(x{\scriptsize -}2)(x{\scriptsize +}3)(x{\scriptsize -}4)\)
素数でないある整式 \(P{\small (x)}\)を積の形で表したそれぞれの整式。
\(\hspace{10pt}a,\,(x^{\tiny 4}{\scriptsize -}2x^{\tiny 3}{\scriptsize -}13x^{\tiny 2}{\scriptsize +}24),\,(x^{\tiny 2}{\scriptsize -}x{\scriptsize -}2),\,(x^{\tiny 2}{\scriptsize -}x{\scriptsize -}12),\,(x{\scriptsize +}1),\,(x{\scriptsize -}2),\,(x{\scriptsize +}3),\,(x{\scriptsize -}4)\) を \(\underline{\textsf{因数}}\) という。
素数とは、正の約数が1とその数自身である約数で、\(1\)以外の自然数のことをいう。
整式とは、数か文字だけ、または数と文字の積の形で表された式(単項式という)と、それに、和\((\textsf{または差})\)を加えた形で表した式(多項式という) をいう。
\(P{\scriptsize (x)}\) は \(Polynomial(\small\textsf{多項式})\)の頭文字 \(P\) をとった 変数 \(x\) の整式を意味する。
また、因数の最小単位(それ以上割り切れない整式) \(\hspace{5pt}a,\,(x{\scriptsize +}1),\,(x{\scriptsize -}2),\,(x{\scriptsize +}3),\,(x{\scriptsize -}4)\) を因子といい、ある整式を因子の積に式変形する課題を \(\color{red}{\underline{\color{black}\textsf{因数分解}}}\) という。因数分解を整式に戻す計算を \(\color{red}\underline{\color{black}\textsf{展開}}\) という。
なお、上記の整式\(P{\small(x)}\) では、因子を除いた因数は \({}_5 \mathrm{ C }_4{\small \,+\,}{}_5 \mathrm{ C }_3{\small \,+\,}{}_5 \mathrm{ C }_2\) 個存在する。\(\hspace{50pt}\small{{\hspace{5pt}{\large\textsf{ ☜}}\hspace{5pt}\textsf{ $\href{https://showanojoe.com/template-math/supplementary-material/permutation-combination/#組み合わせ}{\textsf{組み合わせ}}$}}}\)
因数定理
整式 \(P{\small(x)}{\scriptsize \,=\,}(x-\alpha)g{\small(x)}\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}f{\small(\alpha)}{\scriptsize \,=\,}0\) と定義する。
\(ax^{\tiny3}{\scriptsize\,+\,}bx^{\tiny2}{\scriptsize\,+\,}cx{\scriptsize\,+\,}d{\,\scriptsize=\,}\small0\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}a(x{\scriptsize\,-\,}\alpha)(x^{\tiny2}{\scriptsize\,+\,}(\beta{\tiny1}{\scriptsize\,+\,}\beta{\tiny2})x{\scriptsize\,+\,}\beta{\tiny1}\beta{\tiny2})\hspace{10pt}\rightarrow\hspace{10pt}a(x{\scriptsize\,-\,}\alpha)(x{\scriptsize\,+\,}\beta{\tiny1})(x{\scriptsize\,+\,}\beta{\tiny2})\)
\({\small\color{gray}[\textsf{事例}1]}\hspace{10pt}3x^{\tiny 4}{\scriptsize-}6x^{\tiny 3}{\scriptsize-}3x^{\tiny 2}{\scriptsize+}30x{\scriptsize-}24\) を因数分解する。
\(\begin{cases}3x^{\tiny 4}{\scriptsize-}6x^{\tiny 3}{\scriptsize-}3x^{\tiny 2}{\scriptsize+}30x{\scriptsize-}24{\,\scriptsize=\,}0\hspace{50pt}\{\small\textsf{$x$に代入して$0$となる実数$\alpha$を見出す。$\pm\frac{\textsf{定数項の約数}}{\textsf{最高次の係数の約数}}$に着目すると見出しやすい。ここでは$\pm1,\,\pm2,\,\pm\frac{1}{3},\,\pm\frac{2}{3},\,\pm\frac{4}{3},\,\pm\frac{8}{3},\,\pm4,\,\pm8$ の内のどれか。}\} \\[20pt] 3(x{\scriptsize-}1)(x^{\tiny3}{\scriptsize-}x^{\tiny2}{\scriptsize-}2x{\scriptsize+}8)\hspace{50pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{$\alpha{\scriptsize\,=\,}1$なので、$(x{\scriptsize-}\alpha)$の因子を割り出す。} \\ \small\textsf{高次の多項式は多項式の割り算などを用いて因子で割る(因数分解)。}\hspace{10pt}{\Large\textsf{☞}}\hspace{20pt}\scriptsize\begin{array}{r}\:x^{\tiny3}\:\:{\scriptsize-}x^{\tiny2}{\scriptsize-}2x\:{\scriptsize+}\:\:8\phantom{\:\:aaaa} \\[-5pt] 3x-3\enclose{longdiv}{3x^{\tiny 4}{\scriptsize-}6x^{\tiny 3}{\scriptsize-}3x^{\tiny 2}{\scriptsize+}30x{\scriptsize-}24} \\[-3pt] \underline{3x^{\tiny4}{\scriptsize-}3x^{\tiny 3}\phantom{\:\:\:aaaaaaaaaaa}} \\[-3pt]{\scriptsize-}3x^{\tiny 3}{\scriptsize-}3x^{\tiny 2}{\scriptsize+}30x{\scriptsize-}24\phantom{\:}\\[-3pt] \underline{{\scriptsize-}\:x^{\tiny3}{\scriptsize+}3x^{\tiny2}\phantom{\:\:\:aaaaaaa}} \\[-3pt] {\scriptsize-}6x^{\tiny 2}{\scriptsize+}30x{\scriptsize-}24\phantom{\:} \\[-3pt] \underline{{\scriptsize+}6x^{\tiny 2}{\scriptsize+}\:\:6x\phantom{\:\:aaa}} \\[-3pt] \:24x{\scriptsize-}24 \phantom{\:}\\[-3pt]\underline{\:24x{\scriptsize-}24\phantom{\:}} \\[-3pt]0 \phantom{\:}\end{array}\hspace{10pt}\end{array}\right\} \\[20pt] x^{\tiny3}{\scriptsize-}x^{\tiny2}{\scriptsize-}2x{\scriptsize+}8{\scriptsize\,=\,}(x{\scriptsize+}2)(x^{\tiny2}{\scriptsize-}3x{\scriptsize+}4)\hspace{50pt}\{\small\textsf{同様に$x$に代入して$0$となる実数$\alpha$を見出す。$\alpha{\scriptsize\,=-}2$ の因子を割り出し因数分解する。}\} \\[20pt] \therefore3x^{\tiny 4}{\scriptsize-}6x^{\tiny 3}{\scriptsize-}3x^{\tiny 2}{\scriptsize+}30x{\scriptsize-}24{\,\scriptsize=\,}3(x{\scriptsize-}1)(x{\scriptsize+}2)(x^{\tiny2}{\scriptsize-}3x{\scriptsize+}4)\end{cases}\)
対称式と交代式
多項式の2変数を入れ換えた式が同値\((A)\)である式\(\:\left[{x}^{\tiny2}{\scriptsize +}{y}^{\tiny2}{\scriptsize \,=\,}{y}^{\tiny2}{\scriptsize +}{x}^{\tiny2}{\scriptsize \,=\,}A\{{\small +1}({x}^{\tiny2}{\scriptsize +}{y}^{\tiny2})\} \right]\:\)を対称式といい、符号が変わる値\((-\!A)\)になる式\(\:\left[{x}^{\tiny2}{\scriptsize -}{y}^{\tiny2}{\scriptsize \,\neq\,}{y}^{\tiny2}{\scriptsize -}{x}^{\tiny2}{\scriptsize \,=\,}-\!A\{{\small -1}({x}^{\tiny2}{\scriptsize +}{y}^{\tiny2})\}\right]\)を交代式という。
対称式がもとの式\(\:({x}^{\tiny2}{\scriptsize +}{y}^{\tiny2})\:\)の\(+1\)倍であるのに対し、交代式はもとの式\(\:({x}^{\tiny2}{\scriptsize -}{y}^{\tiny2})\:\)\(-1\)倍となる。
対称式は \(\hspace{5pt}\left\{\begin{array}{l}x{\scriptsize+}y,\,xy\hspace{5pt}\{\small\textsf{$2$変数の場合(最小単位)}\} \\ x{\scriptsize+}y{\scriptsize+}z,\,yz{\scriptsize+}zx{\scriptsize+}xy,\,xyz\hspace{5pt}(\small\textsf{$3$変数の場合}) \\ x{\tiny1}{\scriptsize+}x{\tiny2}{\scriptsize+}x{\tiny3}{\scriptsize+}x{\tiny4},\,x{\tiny1}x{\tiny2}{\scriptsize+}x{\tiny1}x{\tiny3}{\scriptsize+}x{\tiny1}x{\tiny4}{\scriptsize+}x{\tiny2}x{\tiny3}{\scriptsize+}x{\tiny2}x{\tiny4}{\scriptsize+}x{\tiny3}x{\tiny4},\,x{\tiny1}x{\tiny2}x{\tiny3}x{\tiny4}\hspace{5pt}\{\small\textsf{$4$変数の場合($Z$以降の文字がないので$x{\tiny n}$で表示した。)}\} \end{array}\right\}\) の 和積 の組み合わせで表記でき、これを 基本対称式 と称する。
一方、交代式の基本交代式は 差積 のことである。また交代式の多項式において \((x{\scriptsize- }y)\) という最小単位の因子をもつ性質がある。
差積
\(\textsf{差積の定義}\hspace{30pt}\Delta(x{\tiny1},\,x{\tiny2},\,x{\tiny3},\cdots\cdots,\,x{\tiny n}){\small\,=\,}\begin{eqnarray}\overset{\phantom{\Large a}}{\prod_{1{\scriptsize\leqq}i{\scriptsize\lt}j{\scriptsize\leqq}n}}\overset{\overset{\phantom{\large a}}{\phantom{\Huge a}}}{(x{\tiny i}{\scriptsize-}x{\tiny j})}\end{eqnarray}\)
\(n\)変数の差積(記号は$\Delta$)は、任意の変数\(x{\tiny i}(x{\tiny1},\,x{\tiny2},\,x{\tiny3},\cdots\cdots,\,x{\tiny n}\textsf{の内の$1$変数})\)からそれ以外の\(1\)変数\(x{\tiny j}\)を引いたすべての因子\((x{\tiny i}{\scriptsize-}x{\tiny j})\) の総乗\((\Pi\:\textsf{パイ})\)である。また変数の大小は\(i\lt j\)が条件になる。
差積と因数分解
差積と符号
差積と符号の定理 置換\({\large\sigma}\cdot f(x{\tiny1},\,x{\tiny2},\,x{\tiny3},\cdots\cdots,\,x{\tiny n}){\small\,=\,}f(x\sigma{\tiny(1)},\,x\sigma{\tiny(2)},\,x\sigma{\tiny(3)},\cdots\cdots,\,x\sigma{\tiny (n)}){\small\,=\,}\textsf{置換}{\large\sigma}\cdot\Delta{\small\,=\,}sgn(\large\sigma)\cdot\Delta\)
\({\begin{array}{l}(x{\tiny 1}{\scriptsize-}x{\tiny 2})\:(x{\tiny 1}{\scriptsize-}x{\tiny 3})\:(x{\tiny 1}{\scriptsize-}x{\tiny 4})\:\cdots\cdots\:(x{\tiny 1}{\scriptsize-}x{\tiny k})\:(x{\tiny 1}{\scriptsize-}x{\tiny k+1})\:(x{\tiny 1}{\scriptsize-}x{\tiny k+2})\:\cdots\cdots\:(x{\tiny 1}{\scriptsize-}x{\tiny n}) \\ \hspace{27pt}{\scriptsize\times}(x{\tiny 2}{\scriptsize-}x{\tiny 3})\:(x{\tiny 2}{\scriptsize-}x{\tiny 4})\:\cdots\cdots\:(x{\tiny 2}{\scriptsize-}x{\tiny k})\:(x{\tiny 2}{\scriptsize-}x{\tiny k+1})\:(x{\tiny 2}{\scriptsize-}x{\tiny k+2})\:\cdots\cdots\:(x{\tiny 2}{\scriptsize-}x{\tiny n}) \\ \hspace{59pt}{\scriptsize\times}(x{\tiny 3}{\scriptsize-}x{\tiny 4})\:\cdots\cdots\:(x{\tiny 3}{\scriptsize-}x{\tiny k})\:(x{\tiny 3}{\scriptsize-}x{\tiny k+1})\:(x{\tiny 3}{\scriptsize-}x{\tiny k+2})\:\cdots\cdots\:(x{\tiny 3}{\scriptsize-}x{\tiny n}) \\ \hspace{78pt}\vdots\hspace{62pt}\vdots\hspace{30pt}\vdots\hspace{40pt}\vdots\hspace{62pt}\vdots \\ \hspace{78pt}\phantom{\vdots}\hspace{62pt}\vdots\hspace{30pt}\vdots\hspace{40pt}\vdots\hspace{62pt}\vdots \\ \hspace{117pt}{\scriptsize\times}(x{\tiny k\!\!-\!\!1}{\scriptsize-}x{\tiny k})(x{\tiny k\!\!-\!\!1}{\scriptsize-}x{\tiny k\!\!+\!\!1})(x{\tiny k\!\!-\!\!1}{\scriptsize-}x{\tiny k\!\!+\!\!2})\:\cdot\cdot\cdots\:(x{\tiny k\!\!-\!\!1}{\scriptsize-}x{\tiny n}) \\ \hspace{153pt}{\scriptsize\times}{\color{red}(x{\tiny k}{\scriptsize-}x{\tiny k+1})}\:(x{\tiny k}{\scriptsize-}x{\tiny k+2})\:\cdot\cdot\cdot\cdots\:(x{\tiny k}{\scriptsize-}x{\tiny n}) \\ \hspace{194pt}{\scriptsize\times}(x{\tiny k\!\!+\!\!1}{\scriptsize-}x{\tiny k\!\!+\!\!2})\:\cdot\cdot\cdots\:(x{\tiny k\!\!+\!\!1}{\scriptsize-}x{\tiny n}) \\ \hspace{285pt}\vdots \\ \hspace{285pt}\vdots \\ \hspace{270pt}(x{\tiny n\!\!-\!\!1}{\scriptsize-}x{\tiny n})\end{array}}\)