順列 \(\color{#000000}{\Large P}ermutation\)
\(\small{5}\large{P}\small{1},\: \small{5}\large{P}\small{2},\: \small{5}\large{P}\small{3},\: \small{5}\large{P}\small{4},\: \small{5}\large{P}\small{5},\: \small{5}\large{P}\small{5}\) は \(5\)から\(1\)までの自然数 (\(\small{5,\,4,\,3,\,2,\,1}\)) から、任意に選択した個数の順番を入れ換えた並び は何通りあるのか ? を問う表記である(Pは順列を意味するPermutationの頭文字をとったもの)。
\(\textsf{図1から}\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l} {\scriptsize{5}\normalsize{P}\scriptsize{1}}~\textsf{は一列目の $1\times 5 \to 5$ 通り、} \\ {\scriptsize{5}\normalsize{P}\scriptsize{2}} ~\textsf{は二列目の $4\times 5 \to 5\times4$通り} \\ {\scriptsize{5}\normalsize{P}\scriptsize{3}} ~\textsf{は三列目の $3\times 4\times 5 \to 5\times4\times3$ 通り、} \\ {\scriptsize{5}\normalsize{P}\scriptsize{4}} ~\textsf{が四列目の $2\times 12\times5 \to 5\times4\times3\times2$ 通り、} \\ {\scriptsize{5}\normalsize{P}\scriptsize{5}} ~\textsf{が五列目の $6\times4\times5 \to 5!\, (\textsf{$5$の階乗} ~5\times4\times3\times2\times1)$通りとなる。}\end{array}\right. \\[5pt] \hspace{150pt}\left\{\begin{array}{l}\small\textsf{$!$は階乗を表す記号。} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{階乗の定義は $n!{\scriptsize\,=\,}n\times (n{\scriptsize\,-\,} 1)\times (n{\scriptsize\,-\,} 2) \times (n{\scriptsize\,-\,} 3) \times \cdots \times 1$。} \\ \hspace{10pt}\small\textsf{$n$ は自然数、$0!$ は空積により $1$ である。}\end{array}\right\}\end{array}\)
条件付き順列
\(\color{gray}{\textsf{[事例]}}\)
自然数\(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\, \ldots,\,n\)の並びの両端を\(1\textsf{または、}19\)に条件付けた\(10\)の並びの順列
\(\scriptsize{2} \normalsize{P} \scriptsize{1}~\times~\scriptsize{n-2} \normalsize{P} \scriptsize10~\times~\scriptsize{1} \normalsize{P}{\scriptsize{1}}\) 通り
自然数 \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\, \ldots,\,n\) の内、\(1,\,19\) が隣り合う条件の \(10\) の並びの順列
\(\scriptsize{2} \normalsize{P} \scriptsize{1}~\times~ (n-1)+1 \times \scriptsize{n-2} \normalsize{P} \scriptsize{10}\) 通り
自然数 \(1,\,2,\,3,\,4,\,5,\, \ldots,\,n\) の内、\(1,\,19\) が隣り合わない条件の \(10\) の並びの順列
\(\scriptsize{n-2} \normalsize{P} \scriptsize{10}~\times~(n-1)+1~\times~n-1\) 通り
円順列
重複順列
組み合わせ \(\color{#000000}{\Large C}ombination\)
組み合わせは選択範囲 \(n\) から任意の選択肢 \(r\) の総数を問う。
表記は \(\small{n}\large{C}\small{r}\hspace{5pt}\left(=\small{n}\large{C}\small{n{\tiny -}r}\right)\hspace{20pt}\textsf{計算式に変換すると}\frac{{n}\large{P}\small{r}}{r!} \textsf{となる。また計算を簡略にする}\frac{\small{n}\large{P}\small{n-r}}{(n-r)!}\textsf{を用いる。}\)