三平方の定理 2023.04.212022.06.11 三平方の定理 とは、直角三角形 の2辺の長さから他の1辺の長さを特定する定理である。 図1 三平方の定理 三平方の定理の定義式c2=a2+b2 上図の直角三角形は、底辺を、高さを、斜辺はとする。底辺をとおくと、高さをとおくと、{上図1の直角三角形は、底辺を a、高さを b、斜辺は c とする。底辺を x とおくと、c2=x2+b2⇒c2=x2+b2⇒x2=c2−b2高さを x とおくと、c2=a2+x2⇒c2=a2+x2⇒x2=c2−a2 三平方の定理の証明 相そう似じによる証明 図2 相似による三平方の定理の証明 直角三角形の直角から対辺の斜辺に垂直な線分を引き、直角三角形を導出する。はもとより、の斜辺がの高さ、の斜辺がの底辺となるつの直角三角形は互いに相似同形である。は互いに相似を意味する記号。相似の対応する辺の長さの比を相似比という。ここでは直角三角形の斜辺の相似比。三角形を倍に拡大すると、底辺、高さ、斜辺共に倍になり、面積は倍になる。底辺、高さ共にの直角二等辺三角形を倍した面積比を例にとると理解しやすい。ちなみに、三角形の面積の公式は底辺高さ。底辺の相対比がのつの直角三角形の面積はの比となる。直角三角形はから派生したものなので、すなわちが成り立つ。{直角三角形 C の直角から対辺の斜辺に垂直な線分を引き、直角三角形B,A を導出する。C はもとより、B の斜辺が C の高さ、A の斜辺が C の底辺となる3つの直角三角形は互いに 相似(同形) である。{∼ は互いに相似を意味する記号。}相似の対応する辺の長さの比を 相似比 という。ここでは直角三角形B,A,Cの斜辺の相似比 b:a:c 。三角形を m倍 に拡大すると、底辺、高さ、斜辺共に m倍になり、面積は m2倍 になる。 {底辺、高さ共に1の直角二等辺三角形をm倍した面積比を例にとると理解しやすい。ちなみに、三角形の面積の公式は 底辺×高さ÷2。}底辺の相対比が b:a:c の3つの直角三角形B,A,Cの面積Sb,Sa,Scは Sb:Sa:Sc=b2:a2:c2 の比となる。直角三角形B,AはCから派生したものなので、Sb+Sa=Scすなわちb2+a2=c2⇒c2=a2+b2 が成り立つ。