三平方の定理

三平方の定理 とは、直角三角形2辺の長さから他の1辺の長さを特定する定理である。

1 三平方の定理

三平方の定理の定義式c2=a2+b2

{上図1の直角三角形は、底辺を a、高さを b、斜辺は c とする。底辺を x とおくと、c2=x2+b2c2=x2+b2x2=c2b2高さを x とおくと、c2=a2+x2c2=a2+x2x2=c2a2

三平方の定理の証明

そうによる証明

2 相似による三平方の定理の証明

{直角三角形 C の直角から対辺の斜辺に垂直な線分を引き、直角三角形B,A を導出する。C はもとより、B の斜辺が C の高さ、A の斜辺が C の底辺となる3つの直角三角形は互いに 相似(同形) である。{ は互いに相似を意味する記号。}相似の対応する辺の長さの比を 相似比 という。ここでは直角三角形B,A,Cの斜辺の相似比 b:a:c 。三角形を m倍 に拡大すると、底辺、高さ、斜辺共に m倍になり、面積は m2倍 になる。 {底辺、高さ共に1の直角二等辺三角形をm倍した面積比を例にとると理解しやすい。ちなみに、三角形の面積の公式は 底辺×高さ÷2}底辺の相対比が b:a:c の3つの直角三角形B,A,Cの面積Sb,Sa,Scは Sb:Sa:Sc=b2:a2:c2 の比となる。直角三角形B,ACから派生したものなので、Sb+Sa=Scすなわちb2+a2=c2c2=a2+b2 が成り立つ。 

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