三平方の定理

三平方の定理 とは、直角三角形 の$2$辺の長さから他の$1$辺の長さを特定する定理である。

三平方の定理の定義式$\sqrt{c^2}=\sqrt{a^2+b^2}$

$\{\begin{array}{l}\mathsf{\text{上図}}1\mathsf{\text{の直角三角形は、底辺を }}a\mathsf{\text{、高さを }}b\mathsf{\text{、斜辺は }}c\mathsf{\text{ とする。}}\\ \mathsf{\text{底辺を }}x\mathsf{\text{ とおくと、}}\sqrt{c^2}=\sqrt{x^2+b^2}\Rightarrow \sqrt{c^2}=\sqrt{x^2}+\sqrt{b^2}\Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{c^2-b^2}\\ \mathsf{\text{高さを }}x\mathsf{\text{ とおくと、}}\sqrt{c^2}=\sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow \sqrt{c^2}=\sqrt{a^2}+\sqrt{x^2}\Rightarrow \sqrt{x^2}=\sqrt{c^2-a^2}\end{array}$

三平方の定理の証明

相そう似じによる証明

$\{\begin{array}{l}\mathsf{\text{直角三角形 }}C\mathsf{\text{ の直角から対辺の斜辺に垂直な線分を引き、直角三角形}}B,A\mathsf{\text{ を導出する。}}\\ C\mathsf{\text{ はもとより、}}B\mathsf{\text{ の斜辺が }}C\mathsf{\text{ の高さ、}}A\mathsf{\text{ の斜辺が }}C\mathsf{\text{ の底辺となる}}3\mathsf{\text{つの直角三角形は互いに 相似(同形) である。}}\\ \left\{\sim \mathsf{\text{ は互いに相似を意味する記号。}}\right\}\\ \mathsf{\text{相似の対応する辺の長さの比を 相似比 という。ここでは直角三角形}}B,A,C\mathsf{\text{の斜辺の相似比 }}b:a:c\mathsf{\text{ 。}}\\ \mathsf{\text{三角形を }}m\mathsf{\text{倍 に拡大すると、底辺、高さ、斜辺共に }}m\mathsf{\text{倍になり、面積は }}{m}^2\mathsf{\text{倍 になる。 }}\\ \left\{\begin{array}{c}\mathsf{\text{底辺、高さ共に}}1\mathsf{\text{の直角二等辺三角形を}}m\mathsf{\text{倍した面積比を例にとると理解しやすい。}}\\ \mathsf{\text{ちなみに、三角形の面積の公式は 底辺}}\times \mathsf{\text{高さ}}÷2\mathsf{\text{。}}\end{array}\right\}\\ \mathsf{\text{底辺の相対比が }}b:a:c\mathsf{\text{ の}}3\mathsf{\text{つの直角三角形}}B,A,C\mathsf{\text{の面積}}Sb,Sa,Sc\mathsf{\text{は }}Sb:Sa:Sc=b^2:a^2:c^2\mathsf{\text{ の比となる。}}\\ \mathsf{\text{直角三角形}}B,A\mathsf{\text{は}}C\mathsf{\text{から派生したものなので、}}Sb+Sa=Sc\mathsf{\text{すなわち}}{b}^2+a^2=c^2\Rightarrow \sqrt{c^2}=\sqrt{a^2+b^2}\mathsf{\text{ が成り立つ。 }}\end{array}$